İŞL404U-SAYISAL KARAR VERME TEKNİKLERİ
Ünite 6: Şebeke Analizi
Giriş
Birbiriyle bağlantılı kılınmış noktalardan oluşan yapılar şebeke/ağ olarak ifade edilirken bu tür yapılarla ilgili problemlerin önemli bir bölümü şebeke analizi başlığı altında ele alınır. Şebeke analizi ile çözülmek istenen problemlerde, bir noktadan diğer bir noktaya en kısa yolun belirlenmesi, bir noktadan diğer bir noktaya en yüksek (ürün, enerji vb.) aktarımın yapılabilmesi, zaman ve maliyet planlama konusunda en verimli sonucun elde edilmesi gibi örneklenebilecek amaçlar söz konusudur. Şebeke analizinin uygulandığı problemler için doğrusal programlama modelleri de kullanılabilir. Bununla birlikte şebeke temeline dayanan çözüm algoritmaları simpleks yönteminden daha etkilidir.
Şebeke Modellerinde Temel Kavramlar
Şebeke modellerinde kullanılan çizge, düğüm, dal, akış, şebeke, yönlendirilmiş dal, yol, döngü, bağlı şebeke, ağaç, kapsayan ağaç kavramları gibi temel kavramlar şu şekilde açıklanabilir:
Çizge: Belirli sayıda nokta ve bu noktaları birleştiren bağlantılardan oluşan grafiksel yapıya çizge denir.
Düğüm: Bir çizgede yer alan noktalar daire ile gösterilir ve düğüm olarak adlandırılır. Düğümler harf ya da rakamlarla temsil edilir.
Dal: Çizgedeki herhangi iki düğümü birleştiren bağlantılar çizgi ya da eğri kullanımı ile sağlanır. Bağlantı için kullanılan çizgi ya da eğriye dal (yay) adı verilir.
Akış: Dallar üzerinde gerçekleştirilen faaliyetlerdir.
Şebeke: Dallar üzerinde herhangi bir akışı temsil eden sayıların yer aldığı çizgeler, şebeke olarak adlandırılır.
Yönlendirilmiş Dal: İki düğüm bağlantısı ok sembolü ile yapıldığında yönlendirilmiş dal adını alır. Tek yönlü ok ile temsil edilen dallarda başlangıç düğümünden bitiş düğümüne tek yönlü bir akış vardır. Yönlendirilmemiş bir (i, j) dalı, biri (i,j) diğeri (j,i) olmak üzere yönlendirilmiş iki dal yerine geçer. Böyle bir dal üzerinde akış hem i’den j’ye hem de j’den i’ye doğru olmak üzere çift yönlüdür. Çift yönlü ok ile temsil edilen dallarda da yine çift yönlü akış söz konusudur.
Yol: Her bir daldaki akışın yönüne bakılmaksızın iki düğümü birleştiren ardışık dallar dizisidir.
Döngü: Başlangıç ve bitiş noktaları aynı düğüm olan yola döngü (çevrim) adı verilir. Diğer bir ifade ile başladığı düğüme geri dönen dalların oluşturduğu yol döngü olarak adlandırılır.
Bağlı Şebeke: İki düğüm arasında bir yol söz konusu olduğunda bu düğümler bağlı düğüm olarak adlandırılır. Bir şebeke yapısında yer alan tüm düğümler birbirine bağlı olduğunda ise bağlı şebeke kavramından söz edilir.
Ağaç: Düğümleri döngü içermeyecek biçimde birleştirilmiş yönlü olmayan bir şebekenin, tüm
düğümlerini değil, sadece bir kısmını içeren alt kümesi ağaç olarak adlandırılır.
Kapsayan (yayılan) Ağaç: Şebekede yer alan tüm düğümleri kapsayan ve hiçbir döngüye izin vermeden tüm düğümlerin birbiriyle bağlanmasıyla oluşan yapı kapsayan ağaç olarak tanımlanır.
En Kısa Yol Problemleri
En kısa yol problemlerinde amaç başlangıç (kaynak) düğümü i’den bitiş (hedef) düğümü j’ye giden farklı yollar arasından en kısa olanını belirlemektir. Şebekedeki dallar üzerinde yer alan akış değerleri, düğümler arasında kat edilecek mesafeyi, tüketilecek süreyi, harcanacak maliyeti vb. gösterebilir. Problemin çözümü ile bulunacak değer de buna bağlı olarak en kısa mesafe, en kısa süre, en düşük maliyet vb. olacaktır.
En kısa yol problemleri farklı yaklaşımlarla çözülebilir. Küçük boyutlu problemler için matematiksel bir modele ihtiyaç duyulmaksızın çözüme ulaşmak da mümkündür. Bu amaçla şebeke üzerinde başlangıç ve bitiş düğmelerini birbirine bağlayan farklı yollar belirlenerek söz konusu yollara ilişkin dal uzunluklarının toplanması yeterli olacaktır. Bulunan farklı yollara ilişkin toplam uzunluklar karşılaştırılarak en kısa yol belirlenebilir. Fakat problemde yer alan düğüm ve dal sayısı arttıkça farklı tüm yolların belirlenmesi zaman alıcı ve yorucu olabilmekte ve hata yapma olasılığı yükselmektedir. Şebeke problemlerinin çoğunda olduğu gibi en kısa yol problemleri de doğrusal programlama problemi olarak modellenip Simpleks yöntemiyle de çözülebilir. Bununla birlikte en kısa yol problemlerine özgü olarak geliştirilmiş farklı yöntemler bulunmaktadır.
Dijkstra Algoritması, aşağıda sıralanan varsayımları altında uygulanır.
• Şebekede yer alan tüm dalların uzunluğu (dal üzerindeki akış miktarı) bilinmektedir. • dij , (i, j) dalının uzunluğunu temsil etmek üzere dij ≥ 0 dır • i ve j düğümleri birbirlerine doğrudan, (tek bir dal ile) bağlı değilse dij = ∞ kabul edilir. • dij ≠ dji olabilir. • Bir düğümün kendisine uzaklığı sıfır olduğundan dii = 0 dır
Algoritmanın adımları kendine özgü bir etiketleme prosedürü temelinde gerçekleştirilir. Buna göre geçici ve kalıcı olmak üzere iki tür etiket kullanılır. Geçici etiketler düğümlere, hesaplamalar ilerledikçe ilgili düğüme daha kısa başka bir yolun bulunabileceği varsayımıyla başlangıçta atanır. Algoritma adımları uygulanırken yapılan hesaplamalar sonucu daha kısa bir yol bulunursa geçici etiket başka bir etiketle değiştirilir. Bu durum daha kısa başka bir yolun bulunamayacağının kesinleşmesi ile son bulur ve etiket kalıcı etikete dönüştürülür. Geçici etiket (d, n) olarak, kalıcı etiket ise [d, n] olarak genellendiğinde, etiketlerdeki ilk değer (d) ilgili düğümün 1 numaralı
(başlangıç) düğüme olan uzaklığını, ikincisi ise ilgili düğümün bağlandığı önceki düğüm numarasını gösterir.
Algoritma adımları aşağıdaki gibi uygulanır:
1. Şebeke üzerinde çıkış noktası (kaynak) başlangıç düğümü olarak belirlenir ve düğüm numarası olarak dairenin içine 1 yazılır. d11 = 0 olduğu ve başlangıç düğümünün öncesinde başka bir düğüm olmadığı için 1 numaralı düğüme [0 , -] kalıcı etiketi verilir. 2. Başlangıç düğümü dışındaki tüm düğümlere, geçici etiketler verilir. Başlangıç düğümüne doğrudan (tek bir dal ile) bağlı olan düğümler için geçici etiket (dalın uzunluğu, 1) biçiminde olacaktır. Başlangıç düğümüne doğrudan bağlı olmayan düğümlerin geçici etiketleri ise (∞ , -) biçiminde yazılır. 3. Geçici etiketli düğümler dikkate alınarak en kısa uzaklık değerine sahip düğüm belirlenir. Bu düğümün etiketi kalıcı etikete dönüştürülür. Kalıcı etikete dönüştürülen düğüm k olarak adlandırılır (birden fazla düğümün geçici etiketi en kısa uzaklık değerini içeriyorsa, bu düğümlerden herhangi biri seçilerek kalıcı olarak etiketlenir ve işlemlere devam edilir). 4. Önceki adımda k olarak adlandırılan düğüme doğrudan bağlı, geçici etikete sahip düğümler (i) için yeni geçici etiketler belirlemek üzere ui değerleri hesaplanır. Bu hesaplama “ui = (i’den k’ye olan uzaklık) + (k’nin başlangıç düğümüne olan uzaklığı)” biçiminde yapılır. 5. ui < i’nin önceki geçici etiketinde yazan uzaklık ise i düğümüne (u, k) geçici etiketi verilir. ui ≥ i’nin önceki geçici etiketinde yazan uzaklık ise i düğümünün eski (mevcut) geçici etiketi korunur. 6. Şebekede yer alan tüm düğümler kalıcı etikete dönüştürüldüyse en kısa rota belirlenmiş olur. Aksi durumda 3.adıma geri dönülür ve tüm düğüm etiketleri kalıcı oluncaya dek geçici etiketler üzerinde yukarıda sıralanan işlemler tekrarlanır. Son düğüm kalıcı olarak etiketlendiğinde çözüm tamamlanmış olur ve etikette yer alan ilk değer en kısa rotanın uzunluğunu verir. Bu son düğümden başlanarak kalıcı etiketlerin ikinci değerleri dikkate alındığında ise en kısa rota belirlenmiş olur.
En Küçük Yayılma Problemleri
En küçük yayılma problemleri en kısa yol problemlerinin özel bir türü olup iki problem tipi arasındaki en önemli fark en küçük yayılma problemlerinde düğümlerin tamamını, en kısa yol problemlerinde ise düğümlerin bir kısmını birleştiren dallar dizisinin bulunmasıdır. Diğer fark en küçük yayılma problemlerinde dalların yönlendirilmemiş olması gerekliliğidir. Bir işletmenin farklı bina/odalarında yer alan tüm bilgisayarları birbirine bağlayan en kısa kablo uzunluğunun belirlenmesi problemi bu tür problemlere verilebilecek yaygın
örneklerden biridir. Bir şebekedeki tüm düğümleri, toplam uzaklık (mesafe, maliyet, süre vb.) en az olacak biçimde birbirine bağlayan dalların oluşturduğu şebeke en küçük yayılmalı ağaç ya da en az yayılan ağaç olarak adlandırılır.
En küçük yayılma problemlerinin çözümü için geliştirilen ve en yaygın kullanıma sahip algoritmada;
N: Şebekeyi oluşturan düğümler kümesi; N = {1,2,...,n}
C: Şebekede birbiriyle birleştirilmiş düğümler kümesi
𝐶 Şebekede birbiriyle henüz birleştirilmemiş düğümler kümesi
olmak üzere, algoritmanın tüm adımlarında N = C ∪ 𝐶 , dolayısıyla C ∩ 𝐶 = Ø dir.
Algoritma adımları ise aşağıdaki gibidir:
1. Adım: Başlangıçta C = Ø dir. N kümesinden herhangi bir düğüm (i) seçilip bu düğüme en yakın düğüm (j) ile birleştirilir. Bu düğümleri birleştiren (i, j) dalı en küçük yayılmalı ağacın bir dalı olur. Doğal olarak i ve j düğümleri 𝐂 kümesinden çıkarılıp C kümesine eklenir.
2. Adım: 𝐂 kümesinin elemanı olan düğümler içinden, C kümesinde bulunan düğümlerden herhangi birine doğrudan bağlantılı olan en yakın düğüm (n) belirlenir. Bu iki düğümü birleştiren dal en küçük yayılmalı ağaca eklenir. Bu durumda C = {i, j, n} olacağından C kümesine eklenen düğüm (n), 𝐂 kümesinden çıkarılır. En kısa dal seçimi yapılırken aynı uzunluğa sahip birden fazla dal olması durumunda bunlardan herhangi biri seçilerek işlemlere devam edilir.
3. Adım: İkinci adımdaki işlemler tüm düğümler birleştirilinceye kadar tekrarlanır.
Birleştirilecek düğüm kalmadığında, diğer bir ifadeyle 𝑪 = Ø olduğunda en küçük yayılmalı ağaç belirlenmiş olur
Maksimum Akış Problemleri
Belirli bir noktadan diğer bir noktaya elektrik, su, doğalgaz, petrol gibi enerji kaynaklarının aktarımı, fabrikalardan satış mağazalarına ürün aktarımı, iletişim kanalları üzerinden haber, mesaj vb. bilgilerin aktarımı gibi örneklenebilecek durumlarda, amaç çıkış noktasından varış noktasına en yüksek aktarımın gerçekleştirilmesi ise maksimum akış problemleri söz konusudur. Maksimum akış problemlerinde taşınacak ögenin ilk çıkış noktası başlangıç (kaynak) düğümü, varış noktası ise bitiş (hedef) düğümü olarak adlandırılır. Bu tür problemlerde başlangıç ve bitiş düğümleri birbirlerine doğrudan bağlı olmayıp iki düğüm arasında aktarımı sağlayan ara düğümler de bulunmaktadır.
Şebeke üzerinde başlangıçtan bitişe pek çok farklı yol bulunabilir. Bir yol üzerinde bulunan dallar tek yönlü ya da iki yönlü olabilir. Tek yönlü bir dalda ok yönünde sonlu bir akış kapasitesi bulunurken ters yönde akış kapasitesi sıfırdır. Şebekede bağlantılar oklarla gösterilmemiş olsa bile dalların üzerine yazılan maksimum kapasite değeri dalın yönüne ilişkin bilgiyi de vermektedir.
Cij = i düğümünden j düğümüne doğru akış kapasitesi
Cji = j düğümünden i düğümüne doğru akış kapasitesi
olmak üzere şebeke üzerinde iki düğümü birleştiren dallar üzerinde (Cij, Cji) karşılıklı akış kapasitelerini gösterir.
Maksimum akış problemlerinde çözüme ulaşmak için aşağıda verilen adımlar uygulanır:
1. Şebekenin başlangıç (kaynak) düğümünden bitiş (hedef ) düğümüne giden pozitif (sıfırdan farklı) akış kapasitesine sahip herhangi bir yol belirlenir. 2. Belirlenen yol üzerindeki dalların kapasiteleri dikkate alınarak en küçük akış kapasitesi tespit edilir. 3. Önceki adımda belirlenen yol üzerinden kapasite kadar akış gerçekleştirilir ve buna bağlı olarak yol üzerindeki tüm dalların kapasiteleri yeniden düzenlenir. Kalan akış kapasiteleri, akışın gerçekleştirildiği yönde kapasite azaltılarak, akışın ters yönünde ise artırılarak yeniden hesaplanır. 4. Adım 1’e dönülerek işlemler tekrar edilir. Kalan akış kapasiteleri içinde pozitif akış kapasitesine sahip bir yol bulunamadığı takdirde (başlangıçtan bitişe kullanılmamış kapasiteli dal içeren başka bir yol kalmayınca) işlemler sonlandırılır.
En yüksek akışı sağlayan aktarım planı ilk şebeke ile iterasyonlar sonucunda elde edilen son şebeke karşılaş- tırılarak belirlenir. Her iterasyonda yapılan maksimum aktarım miktarları toplandığında başlangıç düğümünden bitiş düğümüne gönderilebilecek (toplam) maksimum miktar belirlenir.
Maksimum akış problemlerinde, şebekedeki belirli bir yol üzerinden gerçekleştirilebilecek maksimum akış miktarı, o yol üzerindeki minimum akış kapasitesine eşittir.
Proje Planlama ve Kontrol Teknikleri
Proje, belirlenmiş bir süre ve bütçe içinde tamamlanması istenen, benzersiz, özgün bir ürün, hizmet ya da sonuç üretmek amacıyla yürütülen birbiriyle bağlantılı faaliyetler bütünüdür. Büyük ölçekli projelerde, planlama, programlama, izleme ve kontrol faaliyetlerinin sağlıklı bir biçimde gerçekleştirilebilmesi için yararlanılan tekniklerin başında, Kritik Yol Yöntemi (CPM) ve Program Değerlendirme ve Gözden Geçirme Tekniği (PERT) gelmektedir. Her iki teknik de projede yer alan faaliyetlerin şebeke gösterimi temeline dayanır. İki teknik arasındaki en önemli fark, CPM’de faaliyet sürelerinin belirli ve kesin olduğu kabul edilirken, PERT’te bu sürelerin olasılıklı olduğunun kabul edilmesidir. Buna göre CPM’de her faaliyet için tek bir süre belirlenirken PERT’te iyimser süre, kötümser süre ve en yüksek olasılıklı süre olmak üzere üç farklı süre tahmininde bulunulur.
CPM ve PERT ile proje programlama üç aşamadan oluşmaktadır:
1. Planlama: Bir bütün olan projeyi ayrı ayrı faaliyetlere bölme işlemlerini kapsar. Faaliyetler arasındaki karşılıklı ilişkilerin tanımlanması yine planlama aşamasının bir parçasıdır. Faaliyetler ve faaliyetler arasındaki mantıksal sıralama ilişkileri belirlendikten sonra faaliyetlerin süreleri tahmin edilerek proje şebeke diyagramı ile temsil edilir. 2. Programlama: Her bir faaliyet için, en erken ve en geç başlama ve bitiş zamanları, projenin za- manında tamamlanması için hayati önem taşıyan kritik faaliyetler ile geciktirilebilen kritik olmayan faaliyetler belirlenir. 3. Kontrol: Proje ilerlerken süre ve maliyetler bakımından planlara uygunluk kontrol edilir. Proje sürekli olarak gözden geçirilir ve başlangıçta öngörülmeyen ya da beklenmeyen problemlerin ortaya çıkması durumunda mevcut program düzeltilerek güncelleştirmeler yapılır.
CPM ve PERT’te Kullanılan Temel Kavramlar
Her iki teknikte ortak olarak kullanılan temel kavramlar şunlardır:
Olay: Bir ya da daha fazla faaliyetin tamamlanması sonucu ulaşılan tanımlanabilir durumdur. Şebeke üzerinde daire ile temsil edilen olaylar zaman ve kaynak kullanmaz.
Faaliyet: Projede belirli bir olayın tamamlanabilmesi için mantıksal bir sırada yerine getirilmesi gereken, zaman ve kaynak harcanmasını gerektiren bir hareket, iş ya da görev olarak tanımlanır. Aynı zamanda gerçekleştirilebilen faaliyetler paralel faaliyetler olarak adlandırılırken, bir faaliyet bitmeden bir diğerinin başlayamayacağı türden faaliyetler ise sıralı faaliyetler olarak adlandırılır.
Öncel/Ardıl faaliyet: Projede yerine getirilmesi gereken birbirine bağlı iki farklı faaliyetten zaman olarak daha önce bitirilmesi gereken faaliyet öncel faaliyet daha sonra bitirilmesi gereken faaliyet ise ardıl faaliyet olarak adlandırılır. Faaliyetler şebeke üzerinde oklar ile temsil edilirler. Bir faaliyetin tamamlanması için gereken süre de faaliyete ilişkin ok üzerinde gösterilir. Okun yönü faaliyetlerin sırasını ve buna bağlı olarak öncellik ve ardıllık ilişkilerini de gösterir.
Kritik faaliyet: Tamamlanmasındaki herhangi bir gecikmenin tüm projenin bitişini geciktireceği faaliyet kritik faaliyet olarak tanımlanır.
Kritik olmayan faaliyet: Başlangıç zamanı belirli sınırlar içinde öne alınsa ya da geciktirilse bile bütünüyle projenin tamamlanma zamanında bir değişik yaratmayan faaliyetlerdir.
Kritik yol: Kritik faaliyetlerden oluşan yol kritik yol olarak adlandırılır.
Şebekenin Oluşturulması
Projeye ilişkin şebekenin oluşturulması için öncelikle, faaliyetler ve faaliyetler arasındaki öncellik/ardıllık
ilişkileri belirlenir. Daha sonra şebeke oluşturulur. Bu süreçte dikkat edilmesi gereken kurallar şunlardır:
• Projenin başlangıç noktası 1 numaralı başlangıç düğümü (olay) ile temsil edilir. Doğal olarak başlangıç düğümünün öncel faaliyeti yoktur. Tüm faaliyetleri birbirine bağlayan olaylar artan sayılar ile gösterilen düğümlerle temsil edilir. Şebekede projenin bitiş noktasını temsil eden düğüm bitiş düğümü olup bu düğümden sonra herhangi bir faaliyet ya da olay yoktur. • Şebekede her faaliyet yalnızca tek bir ok ile temsil edilir. • Her faaliyet biri faaliyetin başlangıcı diğeri faaliyetin bitişi olmak üzere iki ayrı düğümle birleştirilir. • İki olay en fazla bir ok ile birleştirilir. • Doğru öncelik ilişkilerinin kurulabilmesi için şebekeye her yeni faaliyet eklenirken “Şebekeye eklenecek faaliyetten hemen önce hangi faaliyetlerin yapılması zorunludur?, Şebekeye eklenecek faaliyeti hangi faaliyetlerin izlemesi zorunludur?, Şebekeye eklenecek faaliyetle eşzamanlı olan hangi faaliyetler vardır?” soruları sorulmalıdır.
Kukla (boş, yapay) faaliyet: Zaman ve kaynak harcamayan, yalnızca öncellik/ardıllık ilişkilerini doğru biçimde gösterebilmek için gerekli olan faaliyettir. Kukla faaliyet şebekede kesikli çizgilerden oluşan ok ile gösterilir.
Kritik Yol Yöntemi (CPM)
Kritik Yol Yöntemi uygulanırken öncelikle şebekede yer alan her faaliyet için en erken başlama – en erken tamamlanma zamanları ile en geç başlama en geç tamamlanma zamanlarının hesaplanması gerekir.
En erken başlama zamanı en geç başlama zamanına eşit ve en erken tamamlanma zamanı en geç tamamlanma zamanına eşit olan (bolluk değeri sıfır olan) faaliyetler diğer bir ifadeyle geciktirilemeyen faaliyetler kritik faaliyet olarak adlandırılır. Kritik yol şebeke üzerindeki en uzun yol olup, kritik yolun uzunluğu projenin biti- rilebileceği en kısa süreyi verir.
Kritik yol hesaplamaları, biri ileriye diğeri geriye doğru olmak üzere iki yönlüdür. İleri doğru hesaplama faaliyetlerin en erken gerçekleşme zamanlarını, geriye doğru hesaplama ise en geç gerçekleşme zamanlarını belirler.
Proje Değerlendirme ve Gözden Geçirme Tekniği (PERT)
CPM tekniği tüm faaliyetlerin sürelerinin kesin olarak bilindiği varsayımına dayanır. Oysa projelerde yer alan faaliyetlerin sürelerinin kesin olarak bilinmesi çok mümkün değildir. Faaliyet sürelerini etkileyen pek çok farklı faktör olabilir. Bu faktörlere bağlı olarak faaliyetlerin gerçekleştirilme süreleri de
değişebilmektedir. PERT analizi bu durumu dikkate alarak faaliyet sürelerinin belirli bir olasılık dağılımına uygun şekilde tahmin edilebileceği varsayımına dayanmaktadır. Buna göre PERT analizinde faaliyetler için iyimser süre, kötümser süre ve en yüksek olasılıklı süre olmak üzere üç farklı süre tahmini yapılır.
İyimser Süre (a): Faaliyet süresini etkileyecek tüm faktörlerin, tüm koşulların olabilecek en iyi biçimde ortaya çıktığı durumdaki faaliyet süresidir. Faaliyetin gerçekleştirilebileceği en kısa süredir.
Kötümser Süre (b): Gerçekleşebilecek tüm olumsuz koşulların ortaya çıktığı durumda faaliyetin ta- mamlanabileceği süredir. Faaliyetin gerçekleştirilebileceği en uzun süredir.
En Yüksek Olasılıklı Süre (m): Geçmiş tecrübelere dayanarak tahmin edilen ve gerçekleşme beklentisi en yüksek olan süredir.
Faaliyet sürelerinin dağılımını en iyi temsil ettiği kabul edilen dağılım beta dağılımıdır. Beta dağılımında a iyimser süre, b kötümser süre ve m en yüksek olasılıklı süreyi temsil etmek üzere dağılımın ortalaması (𝑥) ve varyansı (s2) aşağıda verilen formüller yardımıyla
hesaplanır.
𝑎 + 4𝑚4𝑏 ! 𝑏 − 𝑎 ! 𝑥 = , 𝑠 = ( ) 6 6 ( 𝑥 ) projedeki bir faaliyetin beklenen tamamlanma süresidir. Faaliyete ilişkin varyans değeri (s2) büyük olursa
faaliyetin beklenen sürede tamamlanması belirsizlik gösterir. CPM tekniğinde belirtildiği üzere, bir projeye ilişkin şebekede başlangıç düğümünden bitiş düğümüne bağlanan farklı yollar içinden en uzun süreye sahip yol kritik yol idi. PERT tekniğinde de aynı kural geçerli olup, beklenen süreler (x) dikkate alınarak, toplamda en uzun süreyi veren yol kritik yol olarak belirlenir. Kritik yol üzerinde yer alan faaliyetlerin süreleri toplamı (μ) projenin beklenen tamamlanma süresi olacaktır. Projenin beklenen tamamlanma süresinin varyansı da (σ2) kritik yol
üzerindeki faaliyetlerin beklenen sürelerinin varyansları toplamına eşit olacaktır.
PERT tekniği ile hesaplanan projenin beklenen tamamlanma süresinin normal dağılımlı olduğu var- sayılmakta ve normal olasılık dağılımının özellikleri kullanılarak projenin değişik sürelerde tamamlanma olasılıkları da hesaplanabilmektedir.