İŞL404U-SAYISAL KARAR VERME TEKNİKLERİ
Ünite 1: Doğrusal Programlama
Giriş
Rekabetçi bir ekonomik ortamda yer alan işletme verimli bir şekilde hem kazancını arttırmak hem de müşterinin mal ve hizmet taleplerini en iyi şekilde karşılayabilmek için sunduğu ürün veya hizmetlerin tasarımında, üretim planlamasında, dağıtım planlarında ve diğer faaliyetlerinde olabilecek en iyi kararları verebilmelidir. Yöneylem araştırması, bu kararların bir bütünlük içinde ve bilimsel bir yaklaşımla verilebilmesini sağlar.
Yöneylem araştırması ile ilgili ilk çalışmalar Leonid V. Kantorovich’e aittir. Bahsi geçen araştırmacı, 1939 yılındaki bir çalışmasında, üretim planı için en iyi sonuca ulaştığını öne sürdüğü bir yöntem önermiştir. İlerleyen zamanda, A.B.D. Hava Kuvvetleri’nde deneyime sahip George B. Dantzig, benzer problemler için kullanılan ve “simpleks algoritması” olarak anılan sistematik çözüm yöntemini geliştirmiştir. Alana katkı sağlayan diğer bir araştırmacı, gemi rotaları için bir model geliştiren Tjalling C. Koopmans’tır. Kantorovich ve Koopmans, kaynakların en iyi (optimal) kullanımına yönelik çalışmaları ile 1975 yılı Nobel Ekonomi ödülüne layık görülmüşlerdir. Doğrusal programlamanın endüstrideki kullanımının başlangıcı, William W. Cooper ve çalışma arkadaşlarının hava aracı yakıtlarının etkin karışımını belirlemeye yönelik yayınladıkları çalışmalarıyla petrol endüstrisine dayanmaktadır.
Günümüzde, yöneylem araştırması ve özellikle doğrusal programlama birçok uygulama alanı için artık genel kabul görmüş bir yöntem olarak karşımıza çıkmaktadır. Şehir planlama, finansal yatırım kararları, üretim planlama, stok yönetimi, karışımların hazırlanması ve kimyasal ayrıştırma süreçlerindeki kararlar, işgücü planlaması, tarımsal üretimin planlanması, beslenme ve diyetetik, ulaştırma ve lojistik sözü edilen uygulama alanlarına örnek teşkil etmektedir.
Doğrusal Programlama
Doğrusal programlama, birçok yöntem ve tekniği kapsayan yöneylem araştırmasında kullanılan bir araç olarak karşımıza çıkan analitik bir yöntemdir. Bunu sağlayan belirli adımların izlenmesini gerektirir:
1. Problemin tanımlanması 2. Probleme yönelik sistem analizi ve veri toplanması 3. Model geliştirme 4. Modelin çözümü ve test edilmesi 5. Çözümün uygulanmasına yönelik kararın verilmesi
Doğrusal modeller, gerçek durumu yeterince temsil etmesi ve çözümünün görece kolay olması sebebiyle öne çıkmaktadır. Doğrusal modeller doğrusal olarak ifade edilmiş kısıtlayıcılardan ve bir amaç fonksiyonundan oluşur.
Doğrusal Programlamada Kullanılan Terimler, Sınıflandırmalar ve Varsayımlar
Doğrusal programlama modelleri en büyükleme veya en küçükleme amacındaki bir amaç fonksiyonu ve modele ait sınırlandırmaları ifade eden kısıtlayıcılardan oluşur. Amaç fonksiyonunda X1, ..., Xn karar değişkenlerine ait katsayılar c1, ..., cn terimleriyle ifade edilir. Kısıtlayıcılarda yer alan karar değişkenlerine ait katsayılar teknik katsayılar olarak adlandırılır ve a11, ..., amn terimleriyle ifade edilir. b1, ..., bm terimleri ise kısıtlayıcıların sağ taraf sabitleridir kitabın 4. sayfasında gösterildiği gibi).
Doğrusal programın her bir kısıtlayıcısına ait eşitsizliği sağlayan karar değişkenlerine ait değerler seti uygun çözüm olarak adlandırılır. Olabilecek tüm uygun çözümlerin oluşturduğu kümeye uygun çözüm alanı adı verilmektedir. her uygun çözüm, en büyüklenmek veya en küçüklenmek istenen amaç fonksiyonundan türetilen amaç fonksiyonu değerine sahiptir. Bu değerler arasından, amacı en küçükleme olan bir doğrusal model için değeri en küçük olan, amacı en büyükleme olan bir model için ise değeri en büyük olan en iyi değer olarak adlandırılır. En iyi değerin türetildiği uygun çözüm ise en iyi çözüm terimi ile ifade edilir. En iyi çözümü elde edebilmek için doğrusal modelin çözülebilir ve sınırlandırılmış olması gerekir. Doğrusal programlamanın sunduğu çözümler bazı varsayımlar altında elde edilmektedir. Bunlar oranlılık, toplanabilirlik, bölünebilirlik ve kesinlik varsayımlarıdır.
Hem amaç fonksiyonu hem de kısıtlayıcılar için, tüm karar değişkenlerinin katkısı aldıkları değerlere orantılıdır. Buna göre, oranlılık varsayımı tüm değişkenlerin üstel değerinin 1 olmasını gerektirir.
Gerek amaç fonksiyonu, gerekse kısıtlayıcılara ait fonksiyonlar barındırdıkları değişkenlerin tekil katkılarının toplamından oluşur. Toplanabilirlik olarak adlandırılan bu varsayım, fonksiyonlarda iki veya daha çok değişkenin çarpımının yer almasını engellemektedir. Doğrusal bir programda değişkenlerin olası değerleri tamsayılarla sınırlandırılmamaktadır. Bölünebilirlik varsayımı değişkenlerin kesirli bir değer almasına imkân verir. Ele alınacak son varsayım, model parametrelerinin (değişken katsayılarının) her koşulda sabit kalacağını ifade eden kesinlik varsayımıdır.
Doğrusal Programlama ile Modelleme
Modelleme aşaması problemin sözel ifadesinin doğrusal programlama varsayımları altında matematiksel olarak ifade edilmesidir.
Modelden türetilecek karar, karar vericinin kontrolünde olan değişkenlerden elde edilir. Karara ait değişkenler (x1, x2, ... xn) ve sabit değerler (burada kastedilen değişken katsayıları ile eşitlik veya eşitsizliklerin sağ taraf sabitleridir) sırasıyla karar değişkenleri ve parametreler olarak adlandırılır.
Amaç fonksiyonu (örneğin Z = 6x1 + x2), ele alınan problem için uygun bir başarım ölçümü olarak değerlendirilir. Amaç fonksiyonu, başarılı olarak değerlendirilen yöne bağlı olarak en büyüklenir veya en küçüklenir. Son olarak, kısıtlayıcı, eşitsizlik veya eşitlik yoluyla karar değişkenlerinin sınırlandırılmasıdır (örneğin 7x1 + 5x2 ≤ 70 veya x1 – x2 = 5).
Tarımsal Planlama: Tahıl ekimi yapan bir çiftçi kendisi için en kârlı olacak şekilde neyi ne kadar ekeceğine karar vermesinde kullanılır. Arpa, mısır ve yulaf ekimi, işçi sayısına göre iş gününün belirlemesi ve üretimin miktarına değişkenlerdir. Buna göre doğrusal programlama modeli oluşturulur.
Beslenme Problemi: Süt verimini arttırmak isteyen bir mandıra tarafından değerlendirilebilir. Yemdeki protein miktarı, ek yem verilmesi, yem fiyatları değişkenlerine göre doğrusal model oluşturulur.
Üretim Planlama: Otomobil üreten bir firma, ileriki bir tarihte uygulamaya girecek olan emisyon normlarına uyumlu bir üretim planı yaptığında değerlendirilebilir. Araçların kilometredeki azot oksit salım miktarı, motor türü ve yeni otomobillerin verimliliği gibi değişkenler üzerinden doğrusal model hesaplaması yapılır.
Stok Yönetimi: Bir boya fabrikası, bir yapı markete bir yıl boyunca su bazlı boya tedarik etmesiyle ilgili değerlendirilebilir. Kaç lire boya alındığı, 3 aylık üretim ve üretim fazlası gibi değişkenler üzerinden model oluşturulur.
İşgücü Planlama: Havaalanı yer hizmetleri yönetimi, yolcu hizmetlerinde çalışan insan kaynağına ilişkin maliyetlerini azaltmasıyla ilgili model oluşturulmak istenmektedir. Buna göre yolcu-personel oranına göre bir model oluşturulmalıdır.
Lojistik Yönetimi: Bir elektrik dağıtım şirketi, gelişmekte olan dört mahallenin orta vadede elektrik tüketim tahminlerine göre işler vaziyetteki üç trafosundan bu mahallelere ilave elektrik hatları oluşturmak istemektedir. Enerji ihtiyacı, trafolardaki kapasite gibi değişkenler üzerinden model oluşturulur.
Portföy Yönetimi: Bir yatırımcının tahvillere ve hisse senetlerine yatırmak üzere 10.000 TL’si bulunmaktadır. Portföye alınacak tahvillerin sayısı ve hisse senetlerinin sayısı üzerinden model oluşturulur.
İki Değişkenli Doğrusal Programlama Modellerinin Grafik Çözümü
Projede gerçekleşecek faaliyetlerden ya da elde edilecek Doğrusal programlama modelleri arasında yalnızca iki karar değişkenine sahip olanlar grafik üzerinde çözülebilmektedir. Bununla birlikte birçok doğrusal programlama modeli ikiden çok karar değişkenine sahiptir. Bu sebeple grafik çözüm yöntemi çok kullanışlı olmasa da, doğrusal programlama modelinde en iyi çözüme nasıl ulaşıldığını göstermesi bakımından
önemlidir. Grafik çözüm yöntemi, uygun çözüm alanı olarak adlandırılan çözüm evreninin belirlenmesiyle başlar.
Öncelikle, negatif olmama kısıtlayıcıları çözüm alanını koordinat düzleminin sağ üst köşesinde kalan 1. bölge ile sınırlandırmaktadır. Koordinat düzleminin 1. bölgesi dikey eksenin sağında ve yatay eksinin üstünde kalan alandır. Buna göre, tüm iki değişkenli doğrusal programların çözüm alanı koordinat düzleminin 1. bölgesi dışındaki bir alanda yer alamaz (kitapta 16. Sayfada Şekil 1.5’de belirtildiği gibi). Eşitsizlikle ifade edilmiş bir kısıtlayıcıyı grafik üzerinde ifade edebilmek için öncelikli olarak yapılması gereken bu kısıtlayıcıyı eşitlik formuna dönüştürmek gerekmektedir. Sonrasında, düzlem üzerinde iki nokta belirlenerek eşitliğe ait olan doğru, grafik üzerinde çizilebilir. Bu noktaların belirlenmesinde sıkça uygulanan bir yol, eşitlikteki bir değişkene sıfır değerini vermek ve eşitliği diğer değişken için çözmektir. Bu yolla kısıtlayıcıya ait doğrunun, hem dikey hem de yatay eksene kadar çizilmesi sağlanmış olmaktadır. Çizilen doğru vasıtasıyla düzlemin 1. çeyreği, doğrunun sağı ve solu olmak üzere iki ayrı alana bölünmüş olur. Bu alanlardan yalnızca biri esas formu eşitsizlik olan kısıtlayıcının koşulunu sağlamaktadır. Koşulu sağlayan alan, bir referans noktası kullanılarak kolayca belirlenebilir; eğer referans noktasına ait değişken değerleri yerine konulduğunda eşitsizlik sağlanıyorsa, grafik üzerinde çizilen doğrunun ayırdığı iki alandan referans noktasını barındıran alan taranarak veya gölgelendirilerek vurgulanır. Referans noktası olarak çoğunlukla grafikteki orijin noktası kullanılır.
Amaç fonksiyonunun grafik üzerinde gösterimi eş-kâr doğruları ile yapılır. Buradaki “eş” kelimesiyle, karar değişkenleri (x1, x2) değerlerinin farklı ikilileri için amaç fonksiyonu değerinin (Z) doğru boyunca aynı olduğu vurgulanmaktadır.
En büyükleme modellerinde, amaç fonksiyonu alternatif olarak kâr fonksiyonu olarak da adlandırılmaktadır. Bunun ardındaki mantık, herhangi bir şeyi en büyüklemenin nihai hedefi genellikle bir faydayı veya “kârı” en büyükleme amacıdır.