İKT405U-FİNANSAL EKONOMİ
Ünite 5: Paranın Zaman Değeri ve Faiz Oranları
Paranın Zaman Değeri ve Maliyeti
Finansal ekonomide temel kabul, “bugün elinizde bulunan 1 liranın, gelecekte elinize geçecek 1 liradan daha değerli” olduğudur. Bu temel prensip dünyanın her yerinde ve her türlü makroekonomik koşul altında geçerlidir. Zaman tercihinden doğan paranın zaman değeri, enflasyon nedeniyle para değerinin düşmesinden farklı bir kavramdır.
Enflasyon, bir bütün olarak mal ve hizmet fiyatlarının artma oranıdır.
Paranın zaman değeri, paranın kullanım zamanındaki tercihi sonucu oluşan değerdir. Beklemenin fiyatı da denilen, eldeki her para biriminin bir değeri bulunmaktadır. Ellerinde belirli bir para mevcudu bulunduran kişilere, bu ellerindeki (tüketimden çektikleri) para karşılığında, gelecekte daha fazla tüketebilme olanağının sunulması gerekir. Elindeki mevcut parasını ilgili dönem değil de gelecek dönem harcamayı kabul eden kişilere sunulan bu fazla tüketebilme olanağı, paranın zaman değeri olarak ifade edilir.
Faiz Kavramı ve Faiz Türleri
Faiz, paranın kirası ya da kullanım bedelidir. Belirli bir miktar para ödünç verildiğinde, anaparanın üzerinde ele geçen her türlü meblağ faiz olarak adlandırılır. Sermayenin bir süre için ödünç verilmesi karşılığı ödenen faiz bir fiyat niteliği taşımaktadır. Faiz, fiyat olarak, ödeme süresinin ve katlanılan riskin bir fonksiyonu şeklinde düşünülebilir. Ödeme süresi ve/veya katlanılan riskin derecesi arttıkça faiz de artar. Faiz oranları beklenen enflasyon için de bir prim ihtiva eder. Enflasyon beklentisi ne kadar yüksekse faiz oranları da o kadar yüksek olur.
Enflasyonun olmadığı bir ortamda, faiz oranı, sermayenin arz ve talebini dengeleyen fiyat olacaktır. Sermayenin arzı bireylerin tasarruf yapma ya da diğer bir deyişle tüketimi erteleme isteğine, sermayenin talebi ise kârlı yatırım fırsatlarının varlığına bağlıdır.
Faiz oranı, tüketimden vazgeçmenin bedelini ve geleceğe ilişkin belirsizliği yansıtır. Faiz oranları, fon arz ve talebine göre belirlenmektedir. Fon arz ve talebini dolayısıyla faiz oranlarını belirleyen faktörler aşağıdaki gibi sıralanabilir:
• Merkez Bankası para politikaları • Hane halkı tasarruf eğilimi • Bütçe açıkları • Dış ticaret açıkları • İşletme faaliyetlerinin düzeyi • Uluslararası para akımları
Finansal kararlarda farklı tarihteki para girişlerinin karşılaştırılması gerekmektedir. Bu tutarların belirli bir zaman noktasındaki eşdeğerlerini bularak karşılaştırma yapmak gerekir. Bu ortak nokta bugün ya da gelecekteki herhangi bir zaman olabilir. Paranın zaman değeri ile ilgili hesaplamalar finans matematiği olarak bilinmektedir.
Finans matematiğinden sadece işletmeler yararlanmamaktadır. Bireyler de kendileriyle ilgili finansal kararları alırken paranın zaman değeri ile ilgili hesaplamalar yapmaktadırlar.
Nominal Faiz Oranı-Reel Faiz Oranı
Nominal faiz oranı, yatırılan paranın büyüme oranıdır. Reel faiz oranı ise bir yatırımın satın alma gücündeki artış oranıdır.
Nominal faiz oranı, piyasalarda en yaygın kullanılan faiz oranıdır. İşlem anında belirtilen ve o anda geçerli olan faiz oranını ifade etmektedir. Reel faiz oranı enflasyonun etkisinden arındırılmış faiz oranıdır. Sadece, tüketimden vazgeçerek ödünç verilen fonların zaman değerini ve bunların geri ödenmeme riskini içerir. Reel faiz oranı, nominal faiz oranının 1 ile toplamının enflasyon oranının 1 ile toplamına oranlanarak birden çıkarılması ile hesaplanmaktadır:
Reel Faiz Oranı= [(1+Nominal Faiz Oranı) / (1+Enflasyon Oranı)] - 1
Bu konuda pratikte en çok yapılan hata, reel faiz oranı hesaplarken nominal faiz oranından enflasyon oranını çıkarmaktır. Enflasyonun çok düşük olduğu ülkelerde, reel faiz oranını bu şekilde hesaplamak, doğru şekilde yapılan hesaplamadan çok farklı sonuçlar üretmez. Ancak, yüksek enflasyon yaşanan ülkelerde, doğru hesaplama yöntemini kullanmak bir zorunluluktur.
Risksiz Faiz Oranı
Risksiz faiz oranı (RF), geri ödenmeme riskinin (d) sıfır olduğu durumdaki faizi ifade eder. Buna göre risksiz faiz oranı, kaçırılan fırsatların gerçek zaman değerinin (z’nin) 1 ile toplamının enflasyon oranının (e’nin) 1 ile toplamıyla çarpımından 1’in çıkarılması ile hesaplanmaktadır:
RF= [(1+z)(1+e)]-1 veya 1+RF= [(1+z)(1+e)]
Risksiz faiz oranı, geri ödenme riski bulunmayan ancak enflasyonun etkisini de hesaba katan faiz oranıdır. Hazinenin ihraç ettiği hazine bonosu, devlet tahvilleri gibi borçlanma araçları için geri ödenme riskinin bulunmadığı varsayılır ve faiz oranı da risksiz faiz oranı olarak tanımlanır
Efektif Faiz Oranı
Genel olarak nominal faiz oranı yıllık olarak ifade edilir. Bir yıl içinde birden fazla faiz ödemesi yapılıyorsa yatırımcıya önerilen yıllık faiz oranı ile yatırımcının gelecekte elde edeceği faiz oranı arasında fark olacaktır.
Yıl içinde faiz ödemelerinin sıklığına göre yatırımcının eline geçen getiri oranına efektif (gerçek-eşdeğer) faiz oranı denir. Efektif faiz oranı (ref), 1 ile nominal faiz (rnom) ödeme sayısı (m) oranı toplamının vade sayısı kadar kuvveti alındıktan sonra 1’den çıkarılması ile hesaplanır:
r = [1+(r / m)m] -1 ef nom
Basit Faiz
Basit faiz, verilen ödünç miktarı ya da alınan borç üzerinden hesaplanan faizdir. Basit faiz, sadece ilk yatırım üzerinden kazanılan faizdir. Faizin tekrar faizi söz konusu olmamaktadır.
Basit faiz uygulamalarına sık rastlanmamaktadır. Basit faiz, parasını bankaya yatıran ve vade sonunda faiz gelirini anaparaya eklemeyen yatırımcılar tarafından kullanılabilir. Faiz oranları, genellikle, yıllık olarak ele alınır ve eğer yıldan daha küçük dönem söz konusu ise bunun özellikle belirtilmesi gerekir.
Bileşik Faiz
Bileşik faiz, faizin her bir dönem itibariyle yeniden anaparaya eklenmesiyle elde edilen bileştirilmiş ifadesidir. Bir başka deyişle, bir yatırım dönemi boyunca kazanılan faizin, sonraki dönemde anaparaya ilave edilerek yatırıma tabi tutulması sonucu elde edilen getiriyi gösteren faizdir. Dönem içinde önceden belirlenen sayıda faizin faizi hesaplanabilmektedir. Bugün, finansal kurumlarda genellikle bileşik faiz kullanılmaktadır.
Basit Faiz Hesaplamaları
Basit Faiz Tutarı = Anapara × Faiz Oranı × Süre şeklinde formüle edilmektedir. Bu formülün sembollerle ifadesi ise aşağıdaki gibidir:
I = P x r x t
Bugün yatırılan paranın ya da borcun belirli bir süre sonundaki değeri paranın gelecek değeridir. Gelecekteki değer, bir yatırımın faiz kazandıktan sonra ulaşacağı değerdir. Yatırımın vade ya da gelecek değeri S ile gösterildiğinde;
S = P + I olacaktır.
Burada “I” yerine bir önceki formül konulursa; basit faizde gelecek değer aşağıdaki formülle de hesaplanabilir:
S = P + (P × r × t) veya
S = P × [1 + (r × t)]
Formülde kullanılan sembollerin açılımı aşağıdaki gibidir:
• S = Basit faizde gelecek değer • P= Anapara (bugünkü değer) • r = Faiz oranı • t = Süre
Bugünkü değer, gelecekteki nakit akışlarının şu anki değeridir. Gelecek değer S = P x [1+(r x t)] formülünden hareketle bugünkü (şimdiki) değer hesaplanması için gerekli formül oluşturulabilir. Basit faizde bugünkü değer (P), basit faizde gelecekteki değerin (S’nin), faiz oranı (r) ve süre çarpımının 1 ile toplamına oranlanmasıyla elde edilir:
P = S / [1+(r x t)]
Bileşik Faiz Hesaplamaları
Bileşik faizde tasarrufların vade sonundaki değerini bulmak için, her yıla ait hesaplamaların ayrı ayrı yapılmasına gerek yoktur.
Bileşik faizde gelecek değer (S), bugünkü değer (P)’nin, faiz oranı (r) ile 1’in toplamının dönem sayısı kadar kuvveti ile çarpımı sonucunda elde edilir. Diğer bir ifadeyle, “P” miktarındaki paranın bileşik faiz esasına göre belirli bir faiz oranı üzerinden “n” dönem sonraki değerini veren formül aşağıdaki gibi oluşturulabilir:
S = P × (1 + r)n
Bileşik faizde bugünkü (şimdiki) değer, gelecekte gerçekleşmesi beklenen bir nakit akımının, paranın zaman değerini ve katlanılan riskin derecesini yansıtan uygun bir iskonto (faiz) oranı ile bugüne indirgenmiş hâlidir. Gelecek değer formülünü kullanarak bugünkü değer hesaplamasında kullanılacak formül oluşturulabilir.
Bileşik faizde bugünkü değer (P); gelecek değerin (S’nin), faiz oranı (r) ile 1’in toplamının dönem sayısı kadar kuvvetine oranlanmasıyla hesaplanır:
P = S / (1+r)n
Bileşik faiz hesaplamasıyla ilgili daha önceki örneklerde faiz ödemelerinin yılda bir kere yapıldığı kabul edilmişti. Oysa uygulamada yılda birden fazla sayıda faiz ödemelerinin yapıldığı durumlar da karşımıza çıkabilmektedir. Faiz hesaplama sıklığı artıkça paranın dönem sonunda biriken miktarı artmaktadır. Bu durumda, bileşik faizde gelecek değer hesaplanması formülü, faiz ödeme sayısı dikkate alınarak yeniden yazılabilir.
Formülde ifade edilen ödeme sayısı (m), yılda kaç kez faiz ödemesi yapıldığını ortaya koymaktadır. Buna göre yılda birden fazla faiz ödenmesi durumunda bileşik faizde gelecek değeri (S); faiz oranının ödeme sayısına oranının 1 ile toplamının dönem sayısı ile ödeme sayısının çarpımı kadar kuvveti alındıktan sonra bugünkü değer ile çarpımından elde edilen sonuçtur:
S = P × (1 + r / m)n×m
Bugünkü değer hesaplanması formülü, faiz ödeme sayısı dikkate alınarak yeniden yazılabilir. Buna göre, yılda birden fazla faiz ödenmesi durumunda bugünkü değer (P); gelecek değerin, faiz oranının ödeme sayısına oranının 1 ile toplamının dönem sayısı ile ödeme sayısının çarpımı kadar kuvvetine oranlanması ile elde edilen sonuçtur:
P = S / (1 + r / m)n×m
Anüite Hesaplamaları
Eşit zaman aralıklarıyla eşit miktarlarda yapılan ödemeler serisine anüite denir. Bunun yanında anüitelerde ödemelerin ve ödeme aralıklarının eşit olmasına ila- ve olarak vade boyunca faiz de değişmemektedir. Uygulamada anüite formüllerini çeşitli amaçlar için
kullanmak mümkündür. Bu bağlamda, değişik kullanım alanları olarak sigorta ve emeklilik ödemeleri ile borç taksitlerinin hesaplanması örnek gösterilebilir.
Ödemelerin başlama noktasına göre anüiteler, dönem başı ve dönem sonu olarak gruplandırılır. Bazı anüitelerde periyodik ödemeler dönemin başında yapılırken (kira ödemeleri gibi) bazı ödemelerde dönem sonunda (kredi taksitlerindeki gibi) yapılır. Aslında anüitelerden bahsedilirken periyodik ödemelerin dönem sonunda yapıldığı normal anüiteler kastedilmektedir.
Belirli bir zaman süresince ya da sonsuza kadar her yıl sabit tutarda ödenen paraların oluşturduğu bir seri olarak tanımlanan anüitelerde, her bir ödemenin yılsonlarında yapıldığı kabul edilir. Bunun yanında, ödemeler eğer yılbaşlarında gerçekleşiyorsa hesaplamalar bir yıl geri gidilerek yapılır. Buna göre, her yılsonunda ödenen bir anüitenin bugünkü değerini (iskonto edilmiş toplamını) bulmak için aşağıdaki formül kullanılır. Belirli bir süre içerisinde her dönem alınacak ya da verilecek eşit taksitlerin bugünkü değeri (AnBD) (kitabın 119. sayfasında anaüitelerin bugünkü değeri başlığı altında gösterildiği gibi) hesaplanabilir:
AnBD = [A / (1+i)] + [A / (1+i)2] +…+[A / (1+i)n]
Formülde A her dönemde ödenecek taksit tutarını, i faiz oranını ve n dönem sayısını göstermektedir. Bu formülde birtakım sadeleştirmeler yapılabilir. Bu anlamda, serinin sağ tarafındaki terimler “A” parantezine alınarak incelendiğinde; serinin ilk terimi “1” ve ortak çarpanı “1 / (1 + i)” olan bir geometrik dizi özelliği gösterir. Dolayısıyla geometrik dizide terimlerin toplamını veren formülden faydalanarak (kitabın 119. sayfasında anaüitelerin bugünkü değeri başlığı altında gösterildiği gibi) nihai eşitliğe ulaşılır:
AnBD = A x [(1+i)n -1] / [(1+i)n x i]
Formül, üslü fonksiyonlara dayandığı için logaritma cetvelleri kullanılması gerekmektedir. Bu nedenle çözümü kolaylaştırmak için anüite tutarlarının değişik faiz ve dönemler için bugünkü değerini veren tablolar düzenlenmiştir. Anüite günlük ekonomik hayatta sık sık karşımıza çıktığı gibi (taksit ödemeleri, yatırım kararları vb,) kişilerin bağışta bulunmaları ya da bıraktıkları vasiyetnameler dolayısıyla da söz konusu edilebilir. Anüitelerde bugünkü değer (kitabın 120. sayfasında yer alan şekildeki gibi) gösterilebilir.
Her dönem alınacak ya da verilecek “A” ile ifade edilen eşit taksitlerin “n” dönem sonunda “i” faiz oranıyla ne değere ulaşacağı, şekil aracılığı ile (kitabın 122. sayfasında yer alan şekildeki gibi) gösterilebilir.
(Kitabın 122. sayfasında yer alan şekilden de görüleceği üzere) anüitenin gelecek değeri (AnGD), her bir ödemenin gelecek değerlerinin toplanmasıyla bulunabilir. Bu anlamda belirli bir süre içerisinde her dönem alınacak ya da verilecek eşit taksitlerin gelecek değerini (AnGD)
veren formül (kitabın 122. sayfasında anüitelerin gelecek değeri başlığı altında gösterildiği gibi) düzenlenebilir:
AnGD = A + A(1 + i) + A(1 + i)2 + ... + A(1 + i)n-1
Ancak bu yöntem, periyodik ödemelerin sayısının artmasına bağlı olarak, pratik olmaktan uzaklaşacaktır. Yukarıdaki seri incelendiğinde; serinin ilk terimi A’nın, ortak çarpanı (1 + i) olan geometrik bir dizi özelliği gösterdiği görülmektedir. Bir geometrik dizide terimlerin toplam değerini veren formül aşağıdaki gibidir:
[İlk terim x (Ortak Çarpan)n -1 ] / [Ortak Çarpan -1]
Bu bağlamda anüitenin gelecek değerini veren formülü (AnGD) yeniden düzenlediğimizde, yeni formül (kitabın 122. sayfasında anaüitelerin gelecek değeri başlığı altında gösterildiği gibi) olacaktır:
AnGD = A x [(1+i)n-1] / i
Bu formülde de logaritma kullanmanın gerekliliği ortaya çıkmaktadır. Bu güçlüğü gidermek için çeşitli faiz oranlarına ve dönem sayısına göre, bir liralık anüitenin toplu son değerini veren tablolar geliştirilmiştir. Taksitlerin eşit olması durumunda anüitenin gelecekteki ya da bugünkü toplam değerleri genel formüller yardımıyla kolayca hesaplanabilir. Eğer ödemeler eşit değilse her bir ödemenin gelecekteki ya da bugünkü değerleri tek tek hesaplanarak toplanması gerekecektir.
Anüitelerde ödemeler dönem başında hemen (peşin) başlayabilir. Sigorta primleri, gayrimenkul kiraları gibi ödemeler bu tür anüitelere örnek gösterilebilir. Her dönem başında yapılan ödemelerin gelecekteki toplam değerini veren formül (kitabın 124. sayfasında peşin anaüiteler başlığı altında gösterildiği gibi) oluşturulur:
AnGD = A x (1+i) x [(1+i)n -1] / i p
Ödemelerin dönem başında yapılması durumunda anüitenin bugünkü değeri (kitabın 124. sayfasında peşin anaüiteler başlığı altında gösterildiği gibi) hesaplanır:
AnBD = A x (1+i) x [(1+i)n -1] / [(1+i)n x i] p
Şimdiye kadar bahsi geçen anüiteler, normal anüiteler olup devam süreleri bellidir. Bazı anüiteler ise süreklilik gösterir. Diğer bir deyişle, bu tür anüitelerde vade olmayıp eşit ödemeler sonsuza (∞) kadar devam eder. Devamlı olarak yapılacak eşit ödemelerin (anüitelerin) bugünkü değeri (kitabın 125. sayfasında devamlı anaüiteler başlığı altında gösterildiği gibi) hesaplanır:
AnBD = A x [(1+i)n -1] / [(1+i)n x i]
Bu formülde n yerine “∞” konulduğunda, aşağıdaki formüle ulaşırız:
AnBD∞ = A / i
Bu basit formül, özellikle hisse senedi değerlemelerinde oldukça sık kullanılır. Bir finansal varlığın sonsuza kadar, eşit zaman aralıklarıyla eşit miktarlarda nakit ürettiği
varsayılırsa bu finansal varlığın değeri sonsuz anüite formülü ile bulunabilir.
Dönem başı ödemeli anüitenin peşin (bugünkü) değeri yerine “∞” konduğunda (kitabın 126. sayfasında devamlı anaüiteler başlığı altında gösterildiği gibi) formüle edilir;
Peşin AnBD = [A x (1+i)n ] / i ∞
Uygulamada genellikle, taksitler dönem başında ya da dönem sonunda başlayarak vade süresince devam eder. Bununla birlikte bazı durumlarda anüiteler, belirli bir zaman geçtikten sonra da başlayabilir. Bu tür anüitelerle daha çok uzun vadeli borçlanmalarda karşılaşılmaktadır. Günlük yaşamda birçok durumda borç geri ödemeleri, borcun alınmasından belirli bir süre sonra başlayabilmektedir. Bu durumda anüitelerin bugünkü değer formülünde, gecikme süresini de dikkate alan bir değişiklik yapmak gerekmektedir. Gecikme süresini (g) dikkate aldığımızda yeni formül (kitabın 126. sayfasında geciktirilmiş anaüitelerin bugünkü değeri başlığı altında gösterildiği gibi) olacaktır:
AnBD = A x [(1+i)n -1] / [(1+i)n+g x i] g