İKT316U-EKONOMETRİNİN TEMELLERİ
Ünite 8: Eşanlı Denklem Modelleri
Bazı Temel Kavramlar
Eşanlı ekonometrik modelleri dikkate almak için, herhangi bir mal veya hizmetin arz ve talebini (örneğin ülke genelinde yeni konut arz ve talebini) inceleyen aşağıdaki iki denklemli modeli dikkate alalım:
QDt = α + βPt + γSt + u1t (8.2) QSt = δ + λPt + μTt + u2t (8.3) QDt = QSt (8.4)
burada
QDt = t döneminde talep edilen yeni konut miktarı, QSt = t döneminde arz edilen (inşa edilen) yeni konut miktarı, Pt = t döneminde (ortalama) yeni konut fiyatı, St = t döneminde (ortalama) ikame malların (örneğin eski konutların) fiyatı, Tt = t döneminde konut yapımı teknolojisinin durumunu temsil eden bir değişken, u1t ve u2t hata terimleridir.
İncelenen iktisadi olgunun değişkenleri arasındaki doğrudan yapısal ilişkileri ortaya koyan model “yapısal biçim” veya “eşanlı yapısal model” olarak adlandırılır. Bu modelin denklemlerine yapısal denklemler, parametrelerine ise yapısal parametreler denir.
Bu denklemler, iktisat teorisinin önerdiği değişkenlerin bu biçimde ilişkili olabileceğini bildirdiği denklemlerdir. Burada vurgulanması gereken asıl nokta fiyat ve miktarın karşılıklı olarak belirlenmesi yani, aynı anda fiyatın miktarı, miktarın da fiyatı etkilemesidir.
Eşanlı yapısal denklemin içsel değişkenler için çözülmesiyle elde edilen denklemler “indirgenmiş (daraltılmış) biçim” denklemleri olarak adlandırılır.
Daraltılmış biçim denklem takımının içsel değişkenler için çözülmesiyle elde edilebileceği gibi içsel değişkenlerin doğrudan dışsal değişkeler üzerine doğrudan yazılmasıyla da elde edilebilir.
Eşanlı Denklem Sapması
P ve Q değişkenlerinin karşılıklı olarak birbirleriyle ilişkili olmaları ve SEKK’in denklemlerin her birine bağımsız olarak uygulanabilmesi nedeniyle, Denklem (7.5) ve (7.6)’nın SEKK ile geçerli bir şekilde tahmini mümkün olamaz. Buna karşılık, bir araştırmacı bu denklemleri SEKK kullanarak ayrı ayrı tahmin ederse ne olur? Her iki denklemin de sağ tarafında P değişkeni yer almaktadır. KDRM’nin varsayımlarından biri, hata teriminin açıklayıcı değişkenlerle ilişkisiz olmasıdır, yani E(Xt ut) = 0 olmalıdır. Ancak Denklem (8.11)’deki P denkleminin sağ tarafında u1 ve u2 yer aldığından, Denklem (8.5) ve (8.6)’da açıklayıcı değişken konumundaki P hatalarla ilişkilidir. Bunun sonucu bu varsayım ihlal edilmektedir.
Eğer eşanlılık göz ardı edildiyse SEKK parametre tahmincilerini üzerine sonuçları ne olurdu? Eşanlı bir sistemin parçası olan yapısal denklemlere SEKK’nin uygulanması sapmalı katsayısı tahminlerine yol açacaktır.
Bu, eşanlılık sapması veya eşanlı denklem sapması olarak bilinir. SEKK tahmincisi sapmalı olmasına karşın, hala tutarlı mıdır? Yani örneklem büyüklüğü arttıkça sapma giderek kaybolmakta mıdır? Hayır, tahminci, gerçekte, tutarlı da değildir. Örneklem büyüklüğü artırılsa bile sapma kaybolmamaktadır. Bu nedenle (8.5) ve (8.6)’yı SEKK kullanarak geçerli bir şekilde tahmin etmek mümkün olmayacaktır.
Bir denklemde X açıklayıcı değişkeni hata terimi ile ilişkiliyse bu denklemin SEKK ile tahmini sapmalı parametre tahminlerine yol açar. Bu sapmaya eşanlılık sapması veya eşanlı denklem sapması adı verilir.
X açıklayıcı değişkeni hata terimiyle ilişkili olduğunda SEKK parametre tahminleri sapmalı olmakla kalmaz aynı zamanda tutarlı da olmazlar. Yani örneklem büyüklüğü artmakla sapma giderek azalmaz.
Belirlenme Sorunu ve Belirlenme Koşulları
Bir eşanlı denklem modelini veya modele ait bir denklemini tahmin etmeden önce belirlenme durumunun incelenmesi gerekir. Belirlenme sorunu yapısal parametrelerin indirgenmiş biçim parametrelerinden elde edilip edilemeyeceği sorunudur.
Eşanlı bir modelin denklemlerinin belirlenmesi ile ilgili olarak mevcut bilgi durumuna bağlı olarak üç farklı durumla karşılaşılır. Bu durumlar aşağıdaki gibidir:
i) Denklem belirlenmez (veya belirlenmemiş ya da eksik belirlenmiştir); bu durumda yapısal parametreleri indirgenmiş biçim parametrelerinden elde etmenin bir yolu yoktur. ii) Denklem tam belirlenmiştir; bu durumda yapısal parametreler indirgenmiş biçim parametrelerinden tek değerli olarak elde edilebilir. iii) Denklem aşırı belirlenmiştir; bu durumda yapısal parametreler indirgenmiş biçim parametrelerinden birden fazla değerli olarak elde edilebilir.
Belirlenmenin Biçimsel Koşulları
Bir denklemin belirlenir olabilmesi için iki koşulun sağlanması gereklidir: Bunlar mertebe ve sıra koşullarıdır.
• Mertebe koşulu - bir denklemin belirlenmesi için gerekli ama yetersiz bir koşuldur. Yani, mertebe koşulu sağlanmış olsa bile denklem belirlenmiş olmayabilir. • Sıra (rank) koşulu denklemin belirlenmesi için gerekli ve yeterli koşuldur. Yapısal denklemler bir matris biçiminde yazılır ve belirli bir denklemin dışında tutulan değişkenlerin hepsinin matriks rankı incelenir.
Mertebe Koşulunun İfadesi: G sayıda eşanlı denklemden oluşan bir eşanlı denklem modelindeki bir denklemin belirlenmede mertebe koşulunun sağlayabilmesi için bu denklemden en az denklem sayısının bir eksiği kadar değişken dışlanmış olmalıdır.
Bu sonucu formülleştirmek için sistemin bütününde yer alan tüm içsel ve dışsal değişkenlerin sayısı K ve denklemdeki tüm içsel ve dışsal değişkenlerin sayısı M olsun. Bu durumda, K – M, denklemden dışlanan, yani denklemde yer verilmeyen değişken sayısıdır. Bunun sonucu mertebe koşulu şöyle yazılabilir: K – M ≥ G – 1 olmalıdır.
Geri Dönüşlü Denklem Modeli (Üçgen Sistemler)
Basitlik için zaman imleri yazılmamış aşağıdaki denklem takımını dikkate alalım:
Y1 = β10 + γ11X1 + γ12X2 + u1 (8.18)
Y2 = β20 + β21Y1 + γ21X1 + γ23X3 + u2 (8.19)
Y3 = β30 + β31Y1 + β32Y2 + γ31X1 + γ32 X2 + u3 (8.20)
Bu üç denklemli modelde Y’ler içsel değişkenler ve X’ler dışsal değişkenlerdir. β’lar içsel değişkenlere ait parametreler ve γ’lar içsel değişkenlere ait parametrelerdir. Parametrelerdeki alt imlerden birincisi denklem numarasını, ikincisi değişken numarasını temsil etmektedir. Örneğin, γ23 ikinci denklemdeki üçüncü dışsal değişkene ait parametre anlamına gelir. Bu üç denklemin hata terimlerinin birbirleriyle ilişkili olmadığını varsayılır.
Buradaki soru şudur: Bu denklemler ayrı ayrı SEKK kullanılarak tahmin edilebilir mi? Bu soruya ilk bakışta uygun cevap: ‘Hayır, çünkü bu bir eşanlı denklem sistemidir’ gibi görünebilir. Oysa, bu denklemlerden birincisi (8.18) hiçbir içsel değişken içermez, bu nedenle X1 ve X2, u1 ile ilişkili değildir. Bunun sonucu bu denklemin tahmininde SEKK kullanılabilir.
İkinci denklem (8.19) X1 ve X2 dışsal değişkenler yanında içsel Y1 değişkenini içerir. Eğer denklemin sağ tarafında yer alan değişkenler hata terimiyle ilişkili değilse bu denklem de SEKK ile tahmin edilebilir. Bir önceki denklemin sağ tarafında Y2 olmamasına karşın ikinci denklemin sağ tarafında Y1 bulunmaktadır. Bunun sonucu Y1, Y2’yi etkilerken Y2, Y1’i etkilememektedir. Bu nedenle Y1 u2 ile ilişkili değildir. Böylece ikinci denklemin (8.19) tahmininde SEKK kullanılabilir. Modelin üçüncü denklemi (8.20) hem Y1 hem de Y2 içerir; bunların u3 ile ilişkisiz olması gerekir. Yukarıdakine benzer bir argümanla, (8.18) ve (8.19) Y3 içermez. Böylece bu denklemin tahmininde de SEKK kullanılabilir.
Eşanlı Denklem Modelleri İçin Tahmin Süreçleri
Geri dönüşlü bir sistemin parçası olan her bir denklem, SEKK kullanılarak ayrı ayrı tahmin edilebilir. Ancak pratikte, pek çok denklem sistemi geri dönüşlü olmayacağından, eşanlı denklem yöntemlerine ihtiyaç vardır. Bu amaçla kullanılabilecek çok sayıda yöntem mevcut olmakla birlikte burada üç basit yönteme yer verilmektedir. Bunlar; dolaylı en küçük kareler (DEKK), iki-aşamalı en küçük kareler (2AEKK) ve araç değişkenler (AD) yöntemleridir. Bunların her biri aşağıda incelenmektedir.
Dolaylı En Küçük Kareler (DEKK)
Yöntem, indirgenmiş biçim denklemlerinin SEKK ile buradan elde edilen indirgenmiş parametre tahminleri π’ler kullanılarak yapısal parametrelerin tahminini içerir. Bununla birlikte, yapısal parametre tahminlerinin indirgenmiş parametre tahminleri elde edilmesi zahmetli ve sıkıcı olduğu kadar aşırı belirlenmiş denklemlere daha basit bir şekilde uygulanan iki aşamalı EKK ile eşdeğer sonuçlar vermesi nedeniyle de tercih edilmez. Bu nedenle, bu aşamada, yapısal parametrelerin indirgenmiş biçim parametrelerinden dolaylı olarak elde edildiğini sezgisel olarak bilinmesi yeterlidir.
İki Aşamalı En Küçük Kareler Yöntemi (2AEKK)
2SLS tam ve aşırı belirlenmiş denklemlerin her ikisinin de tahmininde kullanılır. Bu teknik, DEKK’nin kullanılamadığı aşırı belirlenmiş eşanlı denklemlerin tahmininde kullanılır. Gerçekte, tam belirlenmiş sistemlerin katsayılarını tahmin etmek için de kullanılabilir. Bu durumda, yöntem DEKK’den elde edilenlere asimptotik olarak eşdeğer tahminler verir. Yani 2AEKK tahminleri örneklem büyüklüğü sonsuza yaklaştıkça giderek DEKK tahminlerine yaklaşır. İki aşamalı en küçük kareler tahmini adından da anlaşılacağı gibi iki aşamada gerçekleştirilir:
1. Aşama 1: İndirgenmiş biçim denklemleri SEKK kullanılarak tahmin edilerek bağımlı değişkenlerin kestirim değerleri kaydedilir. 2. Aşama 2: Yapısal denklemler SEKK kullanarak tahmin edilir ancak sağ taraf içsel değişkenleri birinci aşamada kaydedilen kestirim değerleriyle değiştirilir
Araç Değişkenler Yöntemi (AD)
Eşanlı denklem modellerini geçerli bir şekilde tahmin etmede kullanılan diğer bir yöntemdir. SEKK yönteminin yapısal denklemlerde doğrudan uygulanamayışının nedeni içsel değişkenlerin hatalarla ilişkili olmasıydı. Araç değişkenler yöntemi, yapısal modelde hata terimiyle ilişkili içsel değişkenler yerine bu değişkenle yüksek derecede ilişki ancak hata terimi ile ilişki olmayan başka değişkenlerin kullanılmasını önermektedir. Bu değişkenler ‘araç değişkenler’ olarak bilinir.
Denklem (8.16)’nın sağ tarafında yer alan Y1 için uygun aracın z1 olarak bulunduğunu varsayalım. Araç değişken yapısal denklemde doğrudan kullanılmaz, bunun yerine aşağıdaki şu regresyon düzenlenir:
Y1 = λ1 + λ2z1 + w1 (8.22)
Bu denklemin SEKK ile tahminine dayalı olarak 𝑌! değerleri elde edilir ve yapısal denklemdeki Y1 bu kestirilmiş değerlerle değiştirilir. İçsel değişken başına birden fazla araç değişken kullanılması yaygın bir durumdur. Eğer araç değişkenler indirgenmiş biçim denklemindeki değişkenler ise, AD yöntemi 2AEKK yöntemine eşdeğerdir. Böylece, AD, 2AEKK’nin özel durumu olarak görülebilir.