İKT316U-EKONOMETRİNİN TEMELLERİ
Ünite 7: Klasik Doğrusal Regresyon Modelinin Varsayımlarından Sapmalar II
Varsayım 3 Hata Terimi Sabit Varyanslıdır: 2 Var (ui) = σ Şu ana kadar hataların varyansının sabit ve σ2’ye eşit olduğu
varsayılmıştır, bu eşvaryans varsayımı olarak bilinir. Hataların varyansı sabit değilse değişen varyanslı olduğu söylenir. Değişen varyansın bir görünümünü incelemek için, bir regresyonun tahmin edildiğini, elde edilen tahminden regresyon doğrusunun çizildiğini ve Y gözlem noktalarının da bu grafiğe işaretlendiğini kabul edelim. Gözlem noktaları ile doğru arasındaki farklar hata değerleri, artıklar veya kalıntılar olarak adlandırılır. (kitabın 135. sayfasındaki grafik 7.1 ve 7.2’de gösterildiği gibi)
Değişen Varyansın Nedenleri
Hata teriminin değişen varyanslı olmasının çeşitli nedenleri olabilir. Bunlar içinde en yaygın olanları şu şekildedir:
1. Ölçek etkileri: Gelir arttıkça, bireyler tüketim veya tasarrufta daha esnek davranma fırsatına sahiptir. Dolayısıyla yüksek gelirli bireylerin tüketimleri daha geniş bir aralıkta dağılabilir. Bu nedenle σ2’nin gelirle artması muhtemeldir. i 2. Öğrenme etkileri: Hata öğrenme modellerinin ardından, insanlar davranış hatalarını öğrendikçe zamanla hatalar giderek azalır ve daha dar bir aralıkta dağılır. Bu durumda σ2’nin zamanla i giderek düşmesi beklenir. 3. Veri toplama tekniklerindeki gelişmeler: Veri toplama teknikleri geliştikçe, σ2’nin düşmesi i olasıdır. 4. Aykırı değerler: Aykırı değerler diğer gözlem değerlerinden önemli ölçüde büyük veya küçük değerlerdir. Değişen varyans, aykırı değerlerin varlığı sonucu da ortaya çıkabilir. Bu tür gözlemlerin dâhil edilmesi veya hariç tutulması, özellikle örneklem hacmi küçük olduğunda, hata varyansı değişkenliğine neden olabilir. 5. Model kurma hataları: Bazı önemli değişkenlerin ve hatalı veri dönüşümü aynı zamanda bir değişen varyans kaynağı olabilir. 6. Diğer Nedenler: Modele dâhil edilen bir veya daha fazla açıklayıcı değişkenin dağılımındaki çarpıklık, parametre değişmesi ve yapısal kaymalar de potansiyel değişen varyans nedenleridir.
Değişen Varyansın Neden Olduğu Sonuçlar
1. SEKK tahmincileri doğrusal ve sapmasız olma özelliklerini korumakta ancak minimum varyanslı olma özelliklerini kaybetmektedirler. 2. SEKK tahmincilerinin varyans ve standart hataları yanlış sonuçlar vermekte, bunun sonucu güven aralığı ve hipotez testleri (t ve F) anlamlarını kaybetmektedir. 3. Belli bir X değerine karşılık gelen Y öngörüsü yüksek varyanslı olacak, dolayısıyla etkin olmayacaktır.
Hatalar değişen varyanslı olduğunda parametre tahminleri hâlâ sapmasız ve SEKK ile uygun bir şekilde tahmin edilebilmektedir. Parametrelere ait varyans ve standart hatalar yanlıştır. Bu nedenle parametre tahminleri etkin ve tutarlı değillerdir.
Değişen Varyansın Tespiti
Değişen varyansın nedeni veya biçimi nadiren bilinir. Böyle bir durumda bir dağılım grafiği hiçbir şeyi açığa çıkarmaz. Örneğin, eğer hataların varyansı X3t’nin artan bir fonksiyonu iken araştırmacı kalıntıları X2t’ye karşı bir grafik oluşturursa herhangi bir örüntü görmesi pek mümkün olmaz ve yanlışlıkla hataların eşvaryanslı olduğu sonucuna varabilir. Ayrıca hataların varyansının, açıklayıcı değişkenlerden biri ile sistematik olarak değil, zaman içinde değişmesi de mümkündür. Bu olgu “Otoregresif Koşullu Değişen Varyans” veya kısaca “ARCH” olarak bilinir.
Spearman Sıra Korelasyonu Testi: Spearman sıra korelasyonu katsayısına dayalı bu test aşağıdaki adımlar izlenerek gerçekleştirilir:
1. Ekonometrik model tahmin edilerek hata terimleri serisi ûi elde edilir. 2. ûi serisi işareti dikkate alınmadan, |ûi| ve varyansla ilişkili olduğu düşünülen X serisi küçükten büyüğe (veya büyükten küçüğe) doğru sıraya dizilir. 3. Spearman sıra korelasyonu katsayısı hesaplanır. (Hesaplama işlemi için ders kitabının 136. Sayfasına bakabilirsiniz.) 4. Hesaplanan rs değerinin anlamlılığı t istatistiğini kullanılarak test edilir. (İlgili istatistik için ders kitabının 136. Sayfasına bakabilirsiniz) 5. Hesaplanan rs değeri anlamlı ise, yani seçilen α anlamlılık düzeyi ve n – 2 serbestlik derecesinde kritik t değerinden büyükse modelde değişen varyans bulunduğuna karar verilir.
Goldfeld-Quandt Testi: Değişen varyans için çok sayıda düzenli istatistiksel test vardır. Bunlar içinde basit ve güçlülüğü yanında metodolojik üstünlüğü de olan bir test Goldfeld-Quandt testidir. Bu testin temel yaklaşımı, toplam n gözlemden oluşan örneklemin n1 ve n2 gözlemli iki alt örnekleme bölünmesine dayanır. GQ testinin oluşturulması basit olmakla birlikte testin sonucu, örneklemin ikiye ayrıldığı yere göre farklılaşabilir. Yani, örneğin 40 gözlemle tahmin edilmiş bir regresyonda örneklemi tam ortadan 20’şer gözlemli iki alt örnekleme ayırdığımızda sabit varyans durumu reddedilemez iken, diyelim ki ilk 25 gözleme karşılık ikinci 15 gözlemi alarak alt örneklemler oluşturduğumuzda sonuç tam tersi olabilir. Bu nedenle seçimin teorik gerekçelerle yapılması durumunda - örneğin, büyük bir yapısal olaydan önce ve sonra testin daha güçlü olması muhtemeldir.
White Testi: Diğer popüler bir test ise, White’ın (1980) değişen varyans için genel testidir. Test değişen varyansın biçimi hakkında birkaç varsayım yapması nedeniyle
özellikle yararlı bir testtir. (Test ile ilgili örnekleri ders kitabının 137. sayfasında inceleyebilirsiniz.)
Değişen Varyansa Karşı Çözümler
Değişen varyans sorunu ile karşılaştığımızda olası model kuruluşu hatalarına karşı denetledikten sonra modelde hâlâ değişen varyans sorunu devam ediyorsa bunu düzeltmeye yönelik üç alternatif yaklaşıma sahibiz. Bunlar, ağırlıklı en küçük kareler, verileri dönüştürme ve değişen varyansla uyumlu standart hataları kullanmadır.
Ağırlıklı En Küçük Kareler (AEKK): Ağırlıklı en küçük kareler tekniği, başlangıçtaki (değişen varyanslı) modeli, değişen varyansın biçimi hakkındaki bilgiyi kullanarak eşvaryanslı hâle getirmeyi amaçlar. Bu amaçla, ilk olarak değişen varyansın bir değişken veya değişkenlerin bir fonksiyonuyla orantılı olduğu varsayılır. Varyansın orantılı olması beklenen değişkenler model içinden veya model dışından olabilir. Başlangıç modelinin varyansın ilişkili olduğu değişkenin kareköküne bölünerek bir dönüştürülmüş model elde edilir. Orijinal modelinizin Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ... + β3X3t + ut biçiminde olduğunu ve hata teriminin varyansının, var(u) = σ2 = σ2 d olarak i i i tanımlandığını varsayalım, burada di varyansın ilişkili olduğu düşünülen değişken veya değişkenlerin bir fonksiyonudur. Hata teriminin sabit varyanslı olmaması ve di ile oransal olması nedeniyle eşvaryanslık varsayımı di ile ihlal edilmektedir. (Konu ile ilgili dönüştürülmüş modeli ders kitabının 139. sayfasında inceleyebilirsiniz.)
Verileri Dönüştürme: Bu yaklaşım, değişkenleri logaritmalarına dönüştürerek veya başka bir “boyut” ölçüsü ile ölçeği daraltılması içerir. Aynı zamanda aykırı gözlemleri de yeniden ölçeklendirme etkisine sahiptir. Regresyon bu durumda doğal logaritmalar veya dönüştürülmüş veriler üzerinden gerçekleştirilir. Logaritma almak ayrıca, daha önce tartışılan üstel regresyon modeli gibi bir model oluşturma etkisine sahiptir. Bununla birlikte, bir değişkenin logaritmaları, değişkenin sıfır veya negatif değerler alması durumunda tanımsız olmaları nedeniyle alınamaz.
White’ın Değişen Varyansla Uyumlu Standart Hatalarının (Sağlam Standart Hatalar) Kullanımı: White’in değişen varyansla uyumlu standart hataları aynı zamanda sağlam standart hatalar olarak da bilinir. Bu yaklaşım değişen varyans problemi için en sık başvurulan bir çözümdür. Yaklaşım EKK katsayı tahminlerini kullanır ama standart hatalarını tahmin edilen modeli dönüştürmeden değişen varyans için düzeltir. Bu yöntemin gücü, değişen varyansın fonksiyonel biçimi hakkında herhangi bir varsayım yapmadan değişen varyansla başa çıkmasıdır.
Varsayım 4 Hata Terimler Arasında İlişki Yoktur: Kov(xt, ut) = 0
KDRM’nin hata terimi hakkında dördüncü varsayım, hata terimleri arasında ilişki olmaması, yani hata terimleri arasındaki kovaryansın sıfır olmasıdır. Başka bir deyişle, hataların birbirleriyle ilişkisiz olduğu varsayılmaktadır. Hatalar birbirleriyle ilişkisiz değillerse “otokorelasyonlu”
veya “ardışık bağımlı” oldukları belirtilir. Bu nedenle bir ekonometrik araştırmada bu varsayımın bir test edilmesi gerekir. Otokorelasyon zaman serisi verileri için geçerli bir problemdir. (Otokorelasyonlu hatalara örnek olarak ders kitabının 142. Sayfasını inceleyebilirsiniz.)
Otokorelasyonun Nedenleri
Otokorelasyona neden olan çeşitli sebepler var. Bunlardan önemli olanları aşağıdaki gibi sıralayabiliriz:
1. Verilerdeki Atalet: Makroekonomik veriler uzun dönemde devresel dalgalar sergiler. Bu devresel dalgalar değişkenler arasındaki pozitif otokorelasyonun önemli bir kaynağıdır. 2. Model kurma hatası-dışlanan açıklayıcı değişkenler: Ekonomide bir değişkenin çok sayıda değişkenden etkilendiğini biliyoruz. Araştırmacı bunların sadece önemli ve bağımlı değişkeni doğrudan etkileyenleri modele dahil eder. Dışlanan değişkenlerin etkisi hata terimi tarafından üstlenilir. Dışlanan değişkenlerin birbirini izleyen değerleri çoğu zaman birbirinden bağımsız değildir. 3. Model kurma hatası-modelin matematiksel biçiminin yanlış tanımlanması: İlişkinin gerçek biçiminden farklı bir matematiksel biçim benimsenmesi durumunda da sonuç genellikle hata teriminde otokorelasyon oluşmasıdır. 4. Verilerde ara gözlem tahmini (enterpolasyonu): Yayınlanan zaman serisi verilerinin çoğu, ardışık zaman dilimleri boyunca gerçek hatayı ortalamaya getiren bazı enterpolasyon ve pürüzsüzleştirme işlemleri içerir. Bunun sonucu, ardışık değerleri birbirleriyle ilişkilendirilir. Böyle bir durumda hata terimi otokorelasyon içerebilir. 5. Verilerdeki ölçüm hataları: Hata terimi, verilerde ölçüm hataları bulunması durumunda da otokorelasyon içerebilir. Açıklayıcı değişken yanlış ölçülürse birbirini izleyen hatalar ilişkili olacaktır. Bu hataların birbirleriyle ilişkili olmasına neden olabilecektir.
Otokorelasyonun neden olduğu sonuçlardan ilki EKK kullanılarak türetilen katsayı tahminleri hâlâ sapmasızdır ancak minimum varyanslı değillerdir. Bunun sonucu etkin değildirler, yani büyük örneklemlerde bile doğrusal eniyi sapmasız tahminci (DEST) olmazlar. Tahmin edilen hata varyansının gerçek varyanstan büyük olması muhtemeldir. Diğer bir sonuç ise, olağan t ve F anlamlılık testleri geçerli olmazlar, uygulandığında tahmin edilen regresyon katsayıları hakkındaki hipotez testlerinin ciddi bir şekilde yanıltıcı sonuçlar vermesi olasıdır. Son olarak Pozitif ilişkili hatalar için R2’nin “doğru” değerine göre şişmesi
muhtemeldir.
Gecikmeli Değer Kavramı
Otokorelasyonda hata teriminin önceki değerleriyle yani gecikmeli değerleriyle ilişkili olması gecikmeli değişken kavramının açıklanması gereğini ortaya koymaktadır. Otokorelasyon için düzenli testlerin nasıl formüle
edildiğini görmeden önce, bir değişkenin gecikmeli değer kavramı tanımlanmalıdır. Bir değişkenin gecikmeli değeri (Yt-1, Yt-2 veya ut-1 olabilir) basitçe değişkenin bir önceki dönem boyunca aldığı değerdir.
Otokorelasyonun Test Edilmesi: Durbin-Watson Testi
Tahmin edilen bir modelde hataların otokorelasyon içerip içermediğini test etmenin ilk adımı, artıkları yukarıdaki gibi çizmek ve herhangi bir örüntü bulunup bulunmadığını aramak olacaktır. Ancak grafik yöntemler yorumlama konusunda zor olabilir ve bu nedenle düzenli bir istatistiksel test de uygulanmalıdır. En basit ve bilinen otokorelasyon testi Durbin-Watson testidir. Durbin- Watson (DW) testi sadece birinci dereceden otokorelasyonu test etmede kullanılan bir testtir-yani hata teriminin sadece hemen önceki değeri arasındaki ilişkiyi test eder. Testi motive etmenin ve test istatistiklerini yorumlamanın bir yolu, t değerinin önceki değerine göre regresyonu bağlamında olur. DW testinin bir uygulama için geçerli olarak kullanılabilmesi için şu üç koşul yerine getirilmelidir:
1. Regresyonda sabit terim olmalı 2. Açıklayıcı değişkenler stokastik (olasılıklı) olmamalı ve 3. Modelin sağ tarafından bağımlı değişkenin gecikmeli değerleri (Yt–1, Yt–2, vb.) bulunmamalıdır.
Diğer Bir Otokorelasyonun Testi: Breusch–Godfrey Testi
DW testi sadece birinci dereceden otokorelasyonun testinde kullanıldığını ve uygulanması için bazı koşulların gerekli olduğunu hatırlayalım. Oysa Breusch-Godfrey (BG) testi sadece birinci dereceden otokorelasyonla sınırlı olmadığı gibi uygulanması için koşullara da gerek duyulmaz. BG testi, r’inci dereceye kadar otokorelasyon için daha genel bir testtir. Breusch-Godfrey testi ile ilgili potansiyel bir güçlük, testin hesaplanmasında uygun gecikme derecesi r’nin ne olacağı ile ilgilidir. Bunun ne olması gerektiği konusunda açık bir r değeri yoktur, bu nedenle bir dizi değerle denemeler yapmak ve aynı zamanda verilerin sıklığını kullanmak tipiktir.
Otokorelasyona Karşı Çözümler
Otokorelasyonun muhtemel olduğunu belirledikten sonra, bir düzeltme işlemine girişmeden önce modelimizi gözden geçirmeliyiz. Otokorelasyonun ortaya çıkış nedenlerinden biri modelin eksik belirlenmiş olmasıdır. Mevcut otokorelasyon böyle bir eksik belirlenme nedeniyle ortaya çıkmış olabilir. Zaman serisi verileriyle işlem yapılan ekonometrik modellerde değişkenlerin cari dönem değerlerinin açıklayıcı değişken olarak yer alması yeterli olmayabilir. Modelin gözden geçirilmesi sonucu otokorelasyon hâlâ var olmaya devam ediyorsa doğru sonuçlar elde etmek için modelinizi yeniden tahmin etmeye girişmemiz gerekir. Otokorelasyon için en yaygın iki çözüm, uygulanabilir genelleştirilmiş en küçük kareler (UEKK) ve otokorelasyonla uyumlu sağlam standart hataların kullanılmasıdır.
Uygulanabilir Genelleştirilmiş En Küçük Kareler
Modelde hata terimindeki otokorelasyonu gidermek için uygulanan genelleştirilmiş en küçük kareler yöntemi, uygulanabilir genelleştirilmiş en küçük kareler (UGEKK) olarak bilinir. UGEKK kullanılan kesin yönteme bağlı olarak çeşitli isimleri alır. Birinci dereceden otokorelasyon (yani AR (1)) için kullanılan iki UGEKK tekniği şunlardır:
• Cochrane-Orcutt (CO) dönüşümü • Prais-Winsten (PW) dönüşümü
CO ve PW teknikleri başlangıçtaki otokorelasyonlu modeli otokorelasyonu olmayan bir modele dönüştürürler. Dolayısıyla, CO ve PW dönüşümlerinin amacı başlangıç modelindeki hata terimini ilişkisiz hâle getirmektir. Bu amaçla, ilk olarak, otokorelasyonun bir AR (1) süreci tarafından belirlendiğini kabul ederler. Sonra, ilişkisiz bir hata terimi ile sonuçlanan bir genelleştirilmiş fark denklemi oluşturmak için bu ilişki bilgisini kullanırlar. Genelleştirilmiş fark alma işlemi her bir değişkenin cari değerinden otokorelasyon parametresi (ρ) tarafından ölçeklenen önceki değerinin çıkarılmasını içerir. Önerilen AR (1) otokorelasyon modeli doğru değilse, UGEKK ile EKK’den daha doğru standart hatalar alma garantisi yoktur.
Otokorelasyona Duyarlı Sağlam Standart Hatalar
Modeli SEKK kullanarak tahmin etmek ve standart hataları otokorelasyon için ayarlamak diğer düzeltme yöntemlerinden daha popüler hâle gelmiştir. Bunun iki nedeni vardır:
1. Otokorelasyona karşı sağlam standart hataların, temel bir AR (1) süreci veya daha üst bir AR (q) sürecinin varlığına ayarlanabilmesi ve 2. Yalnızca sonuçların sapmalı kısımlara (standart hatalar) ayarlanırken, sapmasız tahminlere (katsayılar) dokunulmaması, dolayısıyla model dönüşümü gerektirmemesidir.
Otokorelasyon için SEKK standart hatalarının ayarlanması otokorelasyona karşı sağlam standart hatalar üretir. Bunlara Newey-West (NW) standart hataları da denir. Bu yöntemin gücü, aynı zamanda daha üst düzey otokorelasyon (AR (q)) ve değişen varyans ile baş edebilmesidir. Çoğu ekonometri yazılım programları, özel bir komutla otokorelasyona duyarlı sağlam standart hataların elde edilmesini sağlarlar.
Varsayım 5: Hata Terimi Normal Dağılmıştır
Model parametreleri hakkında tekil veya bileşik hipotez testleri yapmak için normallik varsayımına (u ~ N(0, σ2)) t gereksinim duyulur. Hata terimi normal dağılmış ise istatistikte Merkezi Limit Teoremi olarak bilinen bir teorem uyarınca regresyon parametreleri de normal dağılıma uyar. Bunun sonucu, parametreler hakkında hipotez testleri düzenlenebilir. Hata terimi normal dağılmamış ve örneklem hacmi yeterince büyük değilse hipotez testleri güvenli bir şekilde gerçekleştirilemez.
Buna rağmen yapılan hipotez testleri yanıltıcı sonuçlar verebilir. Buna karşılık, hata terimi normal dağılmamış olmakla birlikte örneklem hacmi yeterince büyük ise, örneklem hacmi sonsuz gittikçe bütün dağılımların normale yaklaştığı bilgisinden yararlanarak hipotez testlerini gerçekleştirebiliriz.
Normallikten Ayrılma Testleri
Normallik için en sık uygulanan testlerden biri Jarque-Bera (JB) testidir. JB testi, tüm dağılımın ilk iki momentle (ortalama ve varyans) karakterize edildiği normal dağılmış rastgele değişken özelliğini kullanır. Standart bir dağılımın üçüncü ve dördüncü momentleri çarpıklık ve basıklık olarak bilinir. Normal bir dağılım çarpık değildir ve basıklık katsayısı 3 olarak tanımlanmıştır. Basıklık eksi 3’ün katsayısı aşırı basıklık katsayısıdır. Bu nedenle normal bir dağılım sıfıra aşırı basıklık katsayısına sahip olacaktır. JB, çarpıklık katsayısının ve aşırı basıklık katsayısının birlikte sıfır olup olmadığını test ederek bu testi gerçekleştirmektedir.