İKT316U-EKONOMETRİNİN TEMELLERİ
Ünite 6: Klasik Doğrusal Regresyon Modelinin Varsayımlarından Sapmalar I
Giriş
Klasik doğrusal regresyon modeliyle (KDRM) ilgili beş varsayım yapılmaktadır. Bunlar, temel tahmin tekniğimiz, sıradan en küçük karelerin (EKK) bazı istenen özelliklere sahip olduğunu ve ayrıca katsayı tahminlerine ilişkin hipotez testlerinin geçerli bir şekilde yapılabileceğini göstermek için gereklidir. Bu varsayımlar özellikle aşağıdaki belirtilen başlıklar bağlamında daha ayrıntılı olarak incelenebilir:
• Varsayımların geçerli olup olmadığı nasıl tespit edilebilir? • Uygulamada ihlallerin en olası nedenleri nelerdir? • Bir varsayım ihlal edilirse ve bu gerçek göz ardı edilirse, sonuçları nelerdir?
Bu sorulardan sonuncusuyla ilgili olarak modelin genel olarak aşağıdaki üç sorunun herhangi bir birleşimiyle karşılaşabileceği söylenebilir:
• Katsayı tahminleri (𝛽’lar) yanlış, • İlgili standart hatalar yanlış, • Test istatistikleri için varsayılan dağılımlar uygun değildir.
Varsayımlardan birinin veya daha fazlasının verilerle desteklenmediği durumda ilgili sorunları “çözmek” için pratik bir yaklaşım izlenecektir. Bunun sonucu çözümler genellikle şöyledir:
• Varsayımlar artık ihlâl edilmiyor veya • Sorunlar yan adım atıldığından, hâlâ geçerli olan alternatif teknikler kullanılıyor.
Varsayım 1 Hata Teriminin Ortalaması Sıfırdır: E(Ui) = 0
Gerekli ilk varsayım, hataların ortalama değerinin sıfır olmasıdır. Gerçekte, eğer regresyon denkleminde sabit terim varsa bu varsayım asla ihlal edilmeyecektir. Eğer regresyon bir sabit terim içermiyorsa ve hataların ortalama değeri sıfır değilse istenmeyen bazı sonuçlar ortaya çıkabilir. İlk olarak, R2 negatif bir değer alabilir, ikincisi ve daha önemlisi, sabit
terim parametresi olmayan bir regresyonun eğim parametresi tahminlerinde ciddi bir sapmaya neden olabilir. Veriler modelde sabit terim olması gerektiğini söylemezse ve modelde sabit terime yer verilmemişse regresyon doğrusu orijinden geçmeye zorlanarak eğim parametresinin sapmalı olmasına yol açabilir.
Varsayım 2 Açıklayıcı Değişkenler Arasında Tam veya Güçlü Doğrusal Bir İlişki Yoktur
KDRM’nin ikinci varsayımı açıklayıcı değişkenler arasından tam veya güçlü doğrusal ilişki bulunmuyor olmasıdır. Açıklayıcı değişkenler arasında tam veya güçlü çoklu doğrusal ilişki varsa çoklu doğrusal bağlantı sorunu olduğu belirtilir. Regresyon modellerinde çoklu doğrusal bağlantı iki ayrı başlık altında incelenir: Tam çoklu doğrusal bağlantı ve Güçlü çoklu doğrusal bağlantı.
Tam Çoklu Doğrusal Bağlantı
Tam çoklu doğrusal bağlantı iki veya daha fazla açıklayıcı değişken arasında tam doğrusal bir ilişki bulunması durumudur. Aşağıdaki modeli tahmin etmek istediğimizi düşünelim:
Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + ui
X2 ile X3 arasında, örneğin X3i = 10 + 5X2i gibi tam doğrusal bir ilişki varsa, bu iki değişkenin tam doğrusal bağlantı içinde olduğu söylenir. Modelin neden tahmin edilemediğini görmek için bu ilişkiyi denklemde yerine koyalım:
Yi = β1 + β2 X2i + β3 (10 + 5X2i) + ui = β1 + β2 X2i + 10β3 + 5 β3X2i + ui = (β1 + 10β3) + (β2 + 5β3)X2i + ui
Bu denklemi yeniden şöyle yazalım:
Yi = A1 + A2X2i + ui
burada, A1 = (β1 + 10β3) ve A2 = (β2 + 5β3)
Yukarıdaki denklem EKK yöntemi kullanılarak tahmin edildiğinde A1 ve A2 sayısal olarak tahmin edilebilir. Fakat bu iki bilinen değerden β1, β2 ve β3 bilinmeyenleri elde edilemez. Bunun sonucu, değişkenler arasında tam doğrusal bir ilişki varsa parametre tahminleri belirsizdir. Benzer şekilde, parametrelere ait varyans ve standart hataların da tahmin edilemeyeceği gösterilebilir. Sonuç olarak bir regresyon modelinde açıklayıcı değişkenler arasında tam doğrusal bağlantı varsa regresyon parametreleri ile varyans ve standart hatalar tahmin edilemez. Örneğin bir araştırmacı çeyreklik veriler kullanarak mevsimleri yapay değişkenle temsil etmek için dört mevsimden birini dışta tutup kalan üçü için birer yapay değişken oluşturup modele dahil etmek yerine dört mevsimin tümü için yapay değişken kullanmışsa yapay değişken tuzağına düşer ve tam çoklu doğrusal bağlantı sorunu ile karşılaşır.
Güçlü Çoklu Doğrusal Bağlantı
Güçlü çoklu doğrusal bağlantı, açıklayıcı değişkenler arasında tam olmamakla birlikte yüksek derecede bir ilişki bulunması durumudur. Güçlü çoklu doğrusal bağlantı durumunda açıklayıcı değişkenler arasında yüksek derecede doğrusal bir ilişki bulunmakla birlikte ilişki tam veya mükemmel değildir. Tam çoklu doğrusal bağlantının aksine araştırmalarda güçlü çoklu doğrusal bağlantıyla karşılaşmak çok olasıdır ve ciddi tahmin sorunlarına yol açabilir. Bu nedenle araştırmacılar çoklu doğrusal bağlantı sorununa işaret ettiklerinde tam çoklu doğrusal bağlantıdan çok güçlü çoklu doğrusal bağlantıyı kastederler.
Çoklu Doğrusal Bağlantının Nedenleri
i. Açıklayıcı bir değişkeninin başka açıklayıcı değişken veya değişkenlerin doğrusal bir fonksiyonu olarak hesaplanması: Örneğin bir konutun alan büyüklüğünün salon artı oda sayısının ortalama oda genişliği ile çarpılıp diğer bileşenleri temsilen sabit bir değerin eklenmesiyle
hesaplanması durumunda bu iki değişkenin çoklu doğrusal bağlantıya yol açması kesindir. ii. Kullanılan veri toplama yöntemi: Örneğin açıklayıcı değişkenin sınırlı değerler dağılımından örnekleme yapılması, yani örneklemde aylık ortalama hane geliri sadece T3000-T5000 olan ailelerin bulunması. Daha düşük veya daha yüksek gelirli ailelere yer verilmemesi durumunda çoklu doğrusal bağlantıya yakalanma olasılığı artar. iii. Örnekleme yapılan anakütledeki kısıtlar: Örneğin, geliri yüksek olan kişilerin servetlerinin de yüksek olma eğilimi vardır. Anakütlede ve buna bağlı olarak örneklemde düşük gelirli ama yüksek servetli ya da yüksek gelirli düşük servetli bireylerle ilgili yeterli gözlem bulunmayabilir. Bu da doğal olarak çoklu doğrusal bağlantıya neden olabilir. iv. Model kuruluşu: Modele açıklayıcı değişken olarak kareli ve küplü değerlerin eklenmesi ya da Xt–1, Xt–2, gibi gecikmeli terimlerin eklenmesi çoklu doğrusal bağlantıya neden olabilir. v. Ortak zaman trendi paylaşan değişkenler: Fiyat ve gelir gibi parasal değişkenler zaman içinde sürekli büyüme eğilimindedir. Bu tür zaman serisi değişkenleri çoklu doğrusal bağlantıya neden olabilirler.
Çoklu Doğrusal Bağlantının Neden Olduğu Sonuçlar
Çoklu doğrusal bağlantının neden olduğu sonuçları teorik ve uygulamadan kaynaklanan sorunlar olarak iki başlık altında incelenebilir. Teorik sonuçlarda çoklu doğrusal bağlantı durumunda EKK tahmincileri tekrarlamalı örnekleme sürecinde hâlâ doğrusal sapmasız en iyi tahminciler olma, yani DEST özelliklerini sürdürürler. Tahminciler hâlâ etkin ve sapmasızdırlar. Ancak bu bir tekrarlamalı örnekleme özelliğidir ve tek bir örneklemdeki tahminciler için bir şey belirtmez.
Uygulamadan kaynaklanan sonuçlarda ise çoklu doğrusal bağlantıya neden olan değişkenlere ait kısmi regresyon parametreleri için standart hatalar büyük hesaplanır. Regresyon parametrelerine ait tahminler güçlü olmazlar, verideki küçük değişikliklere karşı önemli ölçüde farklılaşabilirler. Tahmin edilen regresyon parametreleri işaret ve büyüklükleri bakımından beklentilerle uyumlu değerler almayabilir. Modelde anlamsız t istatistiklerine karşı büyük bir R2 değeri ile karşılaşılabilir.
Çoklu Doğrusal Bağlantıyı Belirleme Yöntemleri
Çoklu doğrusal bağlantıyı belirlemede kesin geçerli bir test mevcut değildir. Ancak, aşağıda belirtilen bazı yaklaşımlarla çoklu doğrusal bağlantıyı ortaya çıkarabiliriz.
• Yüksek R2 fakat az sayıda anlamlı t istatistiği: Bir
ekonometrik modelin tahmin sonuçları incelendiğinde yüksek bir R2’ye karşılık az
sayıda anlamlı t istatistiği varsa bu bir çoklu doğrusal bağlantı belirtisidir. • Değişkenler arasında yüksek korelasyon katsayıları: Açıklayıcı değişkenler arasındaki
basit veya kısmi korelasyon katsayılarının kontrol edilmesi çoklu doğrusal bağlantı hakkında fikir verir. Mutlak olarak 1’e yakın korelasyon katsayısına sahip değişkenler arasında bir çoklu doğrusal bağlantı bulunabilir. Korelasyon katsayısının büyük olması modelde mutlaka çoklu doğrusal bağlantıya neden olacağı anlamına gelmez. Bu durum yüksek R2 ve
anlamsız t istatistikleriyle birleşirse çoklu doğrusal bağlantı sorunu olduğu düşünülmelidir. • Yardımcı regresyonlar: Her bir X değişkeni ile diğer X değişkenleri arasındaki yardımcı regresyon denklemleri düzenlenerek her bir regresyonun genel anlamlılığına bakılır. Genel anlamlılığın test edilmesinde geleneksel F testinden yararlanılır. F testi kısmi regresyon parametrelerinin tümünün sıfıra eşit olduğunu söyleyen boş hipotez reddederse değişkenler arasında çoklu doğrusal bağlantı problemi olduğu bulgusu elde edilir. • Varyans Şişirme Çarpanı (VIF veya VŞÇ): Çoklu doğrusal bağlantının araştırılmasının bir yolu da her bağımsız değişken için varyans şişirme çarpanının hesaplanmasıdır. VIF, herhangi bir açıklayıcı değişken ile diğer açıklayıcı değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiyi ölçer.
Çoklu Doğrusal Bağlantıya Karşı Çözüm Önlemleri
Güçlü çoklu doğrusal bağlantı sorunun çözümü belirli bir örnekleme özgü sorunun çözümünü içerir. Çoklu doğrusal bağlantıyı çözme başarısı örneklemin karmaşıklığına ve sorunun şiddetine bağlıdır. Başarılı bir çözüm, daha şiddetli başka sorunlara neden olabileceği akılda tutularak, potansiyel düzeltici eylemlerin denenmesini içerir. Çoklu doğrusal bağlantı sorununu çözmeye girişmeden önce şu iki durumun dikkate alınması önemlidir.
• Birincisi, araştırmanın asıl amacı öngörü veya kestirim değerleri oluşturmak ise çoklu doğrusal bağlantıyı gidermek gerekli olmayabilir. Çünkü çoklu doğrusal bağlantı altında da iyi kestirimler elde edilmesi mümkündür. • Buna karşılık amaç güvenilir parametre tahminleri elde etmekse çoklu doğrusal bağlantı problemiyle ilgilenmek gerekli olabilir. Eğer parametrelere ait t istatistikleri 2’den büyük, R2 değeri diğer X’ler arasındaki herhangi bir yardımcı regresyonun R2
değerinden büyükse ve regresyon parametrelerinin işaret ve büyüklükleri uygun bir şekilde yorumlanabiliyorsa model değiştirilmemelidir.
Çoklu bağlantı sorununu çözmenin gerekli olduğuna karar verilmişse aşağıdaki çözüm yollarına başvurabiliriz:
• Ek ya da yeni veri: Bu yaklaşım, mümkünse farklı bir örneklem oluşturulmasını ya da ek gözlemlerle örneklemin genişletilmesini içerir. • Modelden değişken dışlama: Çoklu doğrusal bağlantıya neden olan bir değişkenin modelden çıkarılmasını içerir.
• Modelin yeniden kurulması: Alternatif bir model kuruluşu veya fonksiyon biçimlerinin uygulanışını içerir. Bazı durumlarda, kuramsal modeli veya çok değişkenli bir sorunu ele almak için bağımsız değişkenlerin bağımlı değişkeni etkileme biçimini yeniden düşünebiliriz. • Önsel bilgi kullanımı: Korelasyonun daha az ciddi olduğu önceki tahminlerden elde edilen bir bilgiyi modele katarak modelin sadeleştirilmesi yoluyla çoklu doğrusal bağlantı giderilmeye çalışılabilir. • Değişkenlerin birinci farklarını alma: Birinci fark alma zaman bileşeni olan verilerde kullanılabilecek bir tekniktir. Başka bir deyişle, kullanımı zaman serisi veya panel veri kullanan modellerle sınırlıdır. • Bileşik endeks değişkeni kullanımı: Benzer özellikleri ölçen doğrusal ilişkili değişkenleri birleştirerek bileşik bir endeks değişkeni oluşturabiliriz. • Diğer yöntemler: Çoklu doğrusal bağlantıya karşı uygulanabilecek iki yöntemden daha bahsedilebilir. Bunlar “Temel Bileşenler Yöntemi” ve Sırt (Ridge) regresyon yöntemleridir.