İKT316U-EKONOMETRİNİN TEMELLERİ
Ünite 4: Çoklu Doğrusal Regresyon Modelinin Uzantıları
Sabit Terimsiz Regresyon Modeli
Basit ve çoklu regresyon modellerini oluştururken modellere bağımsız değişken parametrelerinin yanı sıra sabit katsayıyı da dahil etmiştik
Yi = β0 + β1X1i+ β2X2i + ….+ βnXni + ui (4.1)
Burada β0 katsayısı, bağımsız değişkenler “0” olduğunda bağımlı değişkenin alacağı değeri temsil etmektedir. Örneğin; kısa dönem tüketim fonksiyonunda tüketicinin geliri “0” olsa dahi bireylerin belirli bir düzeyde tüketim yapmaları gerekmektedir.
Dolayısıyla tüketim fonksiyonuna dair bir tahmin yapılacaksa regresyon modelinin sabit katsayıyı içeren formunun kullanılması gerekir.
Ancak iktisadi teori gereği bazı durumlarda model sabit katsayıyı içermeyebilir. Sabit katsayının modelde yer almadığı veya “0” olarak kabul edildiği bu tür modellere sabit terimsiz regresyon modelleri denir. Model sabit katsayıyı içermediği ya da “0” olarak kabul edildiği için bu tür modellerde bağımlı değişken bağımsız değişkelerin alacağı değerlere göre belirlenir. Bağımsız değişkenlerin “0” olması hâlinde bağımlı değişken de “0” değerini alır. Bu durumda sabit terimsiz regresyon fonksiyonu da sıfır noktasından geçer.
Bu nedenle sabit terimsiz regresyon modelinin bir diğer adı da sıfır noktasından (orijinden) geçen regresyon modelidir.
Sabit terimsiz (sıfır noktasından geçen) regresyon modeli şu şekilde ifade edilir.
Yi = β1X1i+ β2X2i + …+ βnXni + ui
Sabit Terimsiz Regresyon Modellerinin Özellikleri
Sabit terimsiz regresyon modelleri, sabit terimli modellerden iki noktada farklılaşmaktadır. Bunların ilki hata terimlerinin ortalaması diğeri ise belirlilik katsayısı ile ilgilidir.
Basit ve çoklu doğrusal regresyon modellerinin varsayımlarından birisi hata terimlerinin beklenen değerinin “0”dır. Bu varsayıma göre pozitif veya negatif yönde sapmalar olsa da bu sapmaların toplamı “0”değerini almaktadır. Bu nedenle hata terimlerinin toplamı “0”dır. Ancak sabit terimsiz regresyon modellerinde hata terimlerinin toplamının sıfıra eşit olması şart değildir.
Buna göre;
Yi = Ŷi + ûi eşitliğinde, ∑ (ûi) = 0 → Yi ≠ Ŷi olacaktır.
Bu durumda en küçük kareler tahmincisi de sapmasız tahminci olma özelliğini kaybedecektir.
Sabit terimsiz regresyon modellerinde hata terimlerinin toplamının sıfır olması şart değildir. Hata terimlerinin
toplamının sıfır olmadığı durumda ise EKK tahmincileri sapmasızlık özelliğini kaybetmektedir.
Sabit terimsiz modellerin sabit terimli modellerden farklılaştığı bir diğer nokta ise belirlilik katsayısıyla (R2)
ilgilidir.
Sabit terimli modeller için R2 değeri her durumda 0 ila 1
değeri arasında bir değer alır.
R2 modelin açıklama gücünü gösterir. Ancak sabit terimsiz modellerde R2 değeri negatif bir değer alabilir ve bu durumda R2 değeri yorumlanamaz. Dolayısıyla sabit terimsiz modellerde R2 değeri modelin açıklama gücünü
gösteren uygun bir ölçüt değildir. Bu nedenle sabit terim içerme-yen regresyon modellerinde ham R2 değeri kullanılır. Ham R2 değeri şu şekilde hesaplanır:
hamR2 = Σ (XY)2 / Σ X2 Σ Y2 i i i i
Standartlaştırılmış Değişkenli Regresyon Modeli
Ekonometrik analizlerde zaman zaman değişkenlere ait verilerin ölçüm birimleri arasındaki farklılıklar serilerin standartlaştırılmasını gerekli kılabilir. Değişkenlerin ölçü birimleri birbirinden oldukça farklı olduğunda bu hem modelin genel görünümü bozmakta hem de tahmin edilen parametrelerin karşılaştırılmasını zorlaştırmaktadır.
Seriler standartlaştırılırken izlenen yol ise şu şekildedir: Öncelikle serilerin düzey değerlerinden aritmetik ortalamaları çıkartılır ve ardından elde edilen değer serinin standart sapmasına bölünür. Bu işlem sırasıyla serilerin bütün birimleri için uygulanırsa tüm seri standartlaştırılmış olur.
Standartlaştırılmış Değişkenlerin Ortalaması ve Varyansı
Değişkenler standardize edildikten sonra değişkenlerin ortalamaları ve varyansları da etkilenmektedir. Σ (Yi-Y) ifadesi ortalamadan sapmaların toplamını ifade etmektedir.
Ortalamadan sapmaların toplamı daima “0”dır. Buna göre Σ (Yi-Y) ifadesinin her durumda ”0” değerini alması standartlaştırılmış değişkenlerin ortalamasının da her durumda “0” olacağını göstermektedir.
Buna göre standartlaştırılmış değişkenlerin varyansları da her koşulda 1’e eşittir. Bu şekilde ortalaması “0” varyansı “1” olan değişkenlere temel olarak standartlaştırılmış değişken adı verilmektedir.
Standartlaştırılmış değişkenlerin her durumda ortalaması 0, varyansı 1’dir.
Standartlaştırılmış Değişkenli Regresyon Modeli
Çoklu doğrusal regresyon modelimiz;
Yi = β0 + β1X1i+ β2X2i + ui
Standartlaştırılmış Çoklu doğrusal regresyon modelimiz;
Y* = β*X * + β*X * + u i 1 1i 2 2i i
Burada, değişkenler standartlaştırılarak oluşturulan Standartlaştırılmış Çoklu doğrusal regresyon modelde, sabit terimin yer almadığı görülmektedir.
Standartlaştırılmış modeldeki bağımsız değişken para- metrelerini gösteren β* ve β* standardize edilmiş 1 2 katsayılar olarak adlandırılmaktadır ve yorumu da sıradan doğrusal regresyon parametrelerinden farklı yorumlanmaktadır. Burada parametreler artık standart sapma cinsinden yorumlanır.
Doğrusal Olmayan (Nonlineer) Regresyon Modelleri
Bazı durumlarda iktisadi teori gereği doğrusal regresyon modeli iktisadi olayı açıklamada yetersiz kalabilir ve bu durumlarda doğrusal olmayan regresyon modellerine başvurulabilir.
Tam Logaritmik Model
Bazı iktisadi teoriler değişkenler arasındaki iliş-kilerin doğrusal formda olmadığını öne sürmektedir. Örneğin, Cobb-Douglas tipi üretim fonksiyonu değişkenler arasındaki ilişkilerin doğrusal olmadığı bir fonksiyonel biçimdir ve temel olarak şu şekilde ifade edilir:
𝑄 = 𝛽 𝐾!! 𝐿!! !
Q üretim düzeyini, K ve L sırasıyla sermaye ve emek faktörlerini gösterirken β1 ve β2 ise sırasıyla bağımsız değişken parametrelerini temsil etmektedir. Eşitlikten de anlaşılacağı gibi bu tür bir üretim fonksiyonu doğrusal olmayan bir formda kurulmuştur.
Yani değişkenler arasındaki ilişkiler doğrusal değildir. Dolayısıyla burada β1 ve β2 katsayıları doğrusal formdaki gibi yorumlanamaz.
Genel matematiksel kalıbı verilen Cobb-Douglas tipi üretim fonksiyonunun genel ekonometrik modeli şu şekilde oluşturulabilir:
𝑄 = 𝛽 𝐾!! 𝐿!! 𝑢 ! !
Ancak doğrusal olmayan bu modelin parametreler açısından doğrusallaştırılması mümkündür. Bunun için modelin logaritmasının alınması yeterlidir.
Model logaritması alınarak doğrusal forma dönüştürülebilir:
logQ = logβ0 + β1logK + β2logL + ui
Model bağımlı ve bağımsız değişkenlerin logaritmalarında doğrusal fonksiyonel forma dönüşmüştür. Bağımlı ve bağımsız değişkenlerin logaritmalarında doğrusallaşan bu tür modellere Log-Log Modeli adı verilmektedir.
Yarı Logaritmik Modeller
Bağımlı ve bağımsız değişkenlerin birindeki nispi değişim ile diğerindeki mutlak değişimi karşılaştırarak bu bağlantıları kurmak istendiğinde yarı logaritmik modellere başvurulur.
Yarı logaritmik modeller temelde Log-Lin Modeli ve Lin-Log Modeli olmak üzere iki farklı türde karşımıza çıkmaktadır.
Log-Lin Modeli
Tam logartimik modeli tanımlarken Cobb-Douglas tipi üretim fonksiyonunun logaritmasını alarak modeli doğrusal hâle dönüştürmüştük.
Modelin logaritmasını aldıktan sonra ise modelin hem bağımlı değişkeninin hem de bağımsız değişkenlerinin logaritmik olduğunu görmüştük.
Ancak doğrusal olmayan bazı modellerin logaritması alındığında modelin bağımlı değişkeninin logaritmik olup bağımsız değişkenlerinin doğrusal olduğu görülür.
lnYi = β0 + β1X1i + β2X2i + ui
Bu şekilde bağımlı değişkenin logaritmik bağımsız değişkenlerin ise doğrusal olduğu regresyon modellerine Log-Lin Modeli (logaritmik doğrusal model) adı verilmektedir.
Lin-Log Modeli
Yarı logaritmik model olan Lin-Log Modelinde (doğrusal logaritmik model) ise bağımsız değişkenler logaritmik bağımlı değişken doğrusal formdadır.
Yi = β0 + β1lnX1i+ β2lnX2i + ui
Bağımlı değişkenin doğrusal bağımsız değişkenlerin logaritmik olduğu modellere Lin-Log Modeli adı verilmektedir. Bu tür modellerde bağımsız değişken parametreleri, bağımsız değişkenlerdeki nispi değişimlerin bağımlı değişken mutlak etkilerini göstermektedir.
Ters Modeller
İktisat teorisi gereği bazı durumlarda bağımlı değişken ile bağımsız değişkenlerin tersi arasında bir ilişki söz konusu olabilir. Değişkenler arasındaki bu tür ilişkiler ters modeller ile analiz edilmektedir. Ters model temel olarak şu şekilde ifade edilir:
Yi = β0 + β1i Xi-1 + ui
Bu tür modeller bağımsız değişkenin tersi ile (Xi-1) bağımlı değişken (Yi) arasındaki ilişkileri açıklamaktadır. Burada Xi sonsuza yaklaştıkça Xi-1’in değeri 0’a yaklaşmakta dolayısıyla Yi de β0’a veya β0’ın asimtotik değerine yaklaşmaktadır.
İktisat teorisi gereği iktisadi değişkenler arasındaki ilişkiler kimi zaman ters modeller yardımıyla modellenmektedir. Parasal ücretlerdeki değişme oranı ile işsizlik oranı arasındaki ters ilişkiyi açıklayan Phillips Eğrisi bu tür modellere örnek olarak gösterilebilir.
Sınırlamaların Testi
İktisat bilgilerimizden de hatırlayacağımız gibi marjinal tüketim eğilimi ve marjinal tasarruf eğiliminin toplamı her zaman 1’e eşittir. Ya da Cobb-Douglas tipi üretim fonksiyonunda emek ve sermaye faktörlerine dair
katsayıların ölçeğe göre artan getiri durumunda 1’den büyük, ölçeğe göre azalan getiri durumunda 1’den küçük, ölçeğe göre sabit getiri durumunda ise 1’e eşit olduğunu biliyoruz. İşte bu ve benzeri durumlarda regresyon parametrelerine bir takım kısıtlamalar getirilebilir.
Sınırlamalar temel olarak doğrusal ve doğrusal olmayan sınırlamalar şeklinde test edilmektedir.
Doğrusal Sınırlamaların Testi
Katsayılara dair sınırlamaların doğrusal olduğu durumlarda bu sınırlamaları t testi ve F testi yardımıyla sınayabiliriz.
t-Testi
İki tahmin parametresinin toplamının 1’e eşit olduğunu yani β1 + β2 = 1 sınırlamasını test edeceğimizi varsayalım. Bu durumda sıfır hipotezi ve alternatif hipotez şu şekilde kurulmaktadır:
H0: β1 + β2 = 1 (Sınırlama geçerlidir.) H1: β1 + β2 ≠ 1 (Sınırlama geçerli değildir.)
F- Testi
F testinin kullanımında modele yeni bir değişken ekleyip eklememe kararı verirken F testinden faydalanılmaktadır. F testi sınırlamaları test ederken de benzer bir mantıkla çalışmaktadır.
Burada sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış iki model F testi yardımıyla karşılaştırılarak sınırlamanın geçerli olup olmadığı belirlenir.
H0: β1 + β2 = 1 (Sınırlama geçerlidir.) H1: β1 + β2 ≠ 1 (Sınırlama geçerli değildir.)
Yapısal Kırılma Testi (Chow Testi)
Yapısal bir kırılma yaşanıp yaşanmadığını belirleyeceğimiz test Chow testidir. Chow testi adını testin geliştiricisi olan Gregory Chow tarafından almaktadır. Chow testi yardımıyla test edilecek hipotez şu şekildedir:
H0: Co2 = Co3, c2 = c3 (Katsayılar değişmemiştir) H1: Co2 ≠ Co3, c2 ≠ c3 (En az bir katsayı değişmiştir)
Burada hipotez testi için F test istatistiğinden faydalanılmaktadır.
Doğrusal Olmayan Sınırlamaların Testi
Sınırlamalar doğrusal formda olmayabilir. Böyle durumlarda yukarıda sözünü ettiğimiz testlerin kullanılması uygun değildir ve dolayısıyla yeni yöntemlere ihtiyacımız vardır.
Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + ui
Bu tür doğrusal olmayan sınırlamalar için temel olarak LR Testi (Benzerlik Oranı Testi), LM Testi (Lagrange Çarpanı Testi) ve Wald Testi kullanılır. Bu testler doğrusal sınırlamaların testinde de kullanılabilir.