İKT316U-EKONOMETRİNİN TEMELLERİ
Ünite 2: Basit Doğrusal Regresyon Modeli
Doğrusal Regresyon Modeli
Regresyon analizi ekonometrik çalışmalarda değişkenler arasındaki ilişkiler incelenirken başvurulan başlıca yöntemdir. Regresyon analizi, temel olarak bir değişkenin başka değişkenler tarafından açıklandığı varsayımına dayanır. Burada bir değişken, aralarında neden-sonuç ilişkisi bulunan diğer değişkenler ile birlikte matematiksel olarak modellenir ve bu modele regresyon modeli adı verilir.
Regresyon modeli fonksiyonel formda şu şekilde ifade edilebilir: Y = β0 + β1 X + u
Bu değişkenler Y ve X değişkenleridir. Burada Y açıklanan veya bağımlı değişken olarak adlandırılırken X değişkeni açıkayıcı veya bağımsız değişken olarak isimlendirilmektedir. Öte yandan u stokastik (olasılıklı) hata terimini, β0 sabit katsayısı β1 ise Y ve X değişkeni arasındaki ilişkinin yönünü ve büyüklüğünü gösteren katsayısı temsil etmektedir.
Bağımlı ve Bağımsız Değişken
Bağımlı değişken kısaca bağımsız değişkenlere bağlı olarak değişen yani bağımsız değişkenler tarafından açıklanan değişkendir. Bağımsız değişken ise bağımlı değişkeni açıklayan değişkendir ve değişimi herhangi bir değişkene bağlı değildir.
Stokastik Hata Terimi
Regresyon modelindeki u ise stokastik hata terimidir. Eğer bu ifade modelde yer almıyor olsaydı Y ve X arasında kesin (deteministik) bir ilişkiden söz edebilirdik.
β0 ve β1 Katsayıları
Modelde yer alan β0 katsayısı sabit katsayıyı temsil etmektedir. Sabit katsayı temel olarak bağımsız değişkenin sıfır olduğu durumda bağımlı değişkenin alacağı değerdir. Öte yandan modelde yer alan β1 katsayısı bağımsız değişken katsayısıdır ve bağımsız değişkendeki değişimin bağımlı değişkeni ne yönde ve ne düzeyde etkilediğini gösterir.
Basit Doğrusal Regresyon Modeli
Basit regresyon modeli bir bağımlı ve bir bağımsız değişkenin oluşturduğu regresyon modelidir. Bu tür modellerde bağımlı değişkendeki değişim yalnızca bir bağımsız değişken tarafından açıklanır. Bu iki değişken arasındaki ilişkinin doğrusal olması durumunda ise modele basit doğrusal regresyon modeli adı verilir.
Basit Doğrusal Regresyon Modelinin Temel Varsayımları
Basit doğrusal regresyon modeli bir bağımlı ve bir bağımsız değişken arasındaki ortalama ilişkileri gösterir. Bu ilişki kesin değildir çünkü tahmini yapılan modelde her zaman bir hata payı söz konusudur. Regresyon modellerinin temel varsayımları da büyük ölçüde bu hata terimi ile ilgilidir.
• Hata teriminin ortalaması sıfırdır. • Hata teriminin varyansı sabittir. • Hata terimleri arasında ilişki yoktur. • Hata terimi (ui) ile açıklayıcı değişkenler (Xi) arasında ilişki yoktur. • Hata terimi normal dağılıma sahiptir.
Basit Doğrusal Regresyon Modelinin Tahmini
Regresyon analizi, anakütleyi temsil eden bir örneklem yardımıyla tahmincilerin belirlenmesi temeline dayanır. Burada bilinmeyen bir ana kütleden n sayıda gözlemli rassal olarak seçilen bir örneklem belirlenir ve her bir gözlem için regresyon modeli şu şekilde ifade edilir: Yi = β0 + β1 Xi + ui i = 1, 2, 3, …, n
Eşitlik (2.10)’de basit doğrusal regresyon modeli fonksiyonel formda gösterilmektedir. Eşitlikten de görülebileceği gibi bağımlı değişken (Y), tek bağımsız değişken (X) tarafından açıklanmaktadır
Küçük örneklem için tahmincinin taşıması gereken özellikler sapmasızlık, en küçük varyans, en küçük ortalama hata karesi, etkinlik, doğrusal en iyi sapmasızlık ve yeterlilik ölçütleridir.
i. Bir tahminci için sapma, tahmincinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki farkı temsil eder. Sapmasızlık ise bu farkın yani sapmanın “0” olduğunu ifade etmektedir. ii. En küçük varyans özelliği ise sapmalı veya sapmasız tahminciler arasında en küçük varyansa sahip tahmincinin tercih edilebileceğini ifade eder. iii. Ancak yalnızca bu bilgiyle tahmincinin en iyi tahminci olduğunu söyleyemeyiz. Çünkü burada tahmincinin öncelikle sapmasızlık özelliğini taşıması ve aynı zamanda en küçük varyansa sahip olması arzu edilir. Peki, sapmalı ancak düşük varyansa sahip tahminci ile sapmasız ancak büyük varyanslı tahminci arasında tercih yapmamız gerekirse hangisini tercih etmeliyiz? Bu durumda hangi tahmincinin en iyi tahminci olduğuna karar verebilmek için ortalama hata karelerine bakılır. Burada iki tahminci arasından ortalama hata kareleri düşük olan tercih edilir. Arzu edilen ise tahmincinin sapmasız ve en küçük varyansa sahip olmasıdır. Sapmasız tahminciler arasında en küçük varyansa sahip tahminci tercih edilir ve buna etkin tahminci adı verilir. iv. Doğrusallık, tahmincinin gözlemlerin doğrusal bir fonksiyonu olduğunu ifade eder. Doğrusal en iyi sapmasızlık özelliği ise doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler arasında en düşük varyansa sahip tahmincinin doğrusal en iyi sapmasız tahminci olduğunu ifade etmektedir. Öte yandan tahmincinin, gerçek parametrenin yeterli bir tahmincisi olması beklenir. Eğer bir tahminci yeterlilik şartını yerine getiriyorsa bu, söz konusu tahmincinin gerçek parametre hakkında diğer tüm tahmincilere göre daha fazla bilgi içerdiğini ifade etmektedir.
Büyük örneklem durumunda ise tahmincinin asimtotik özellikleri incelenir. Burada gözlem sayısının sonsuza gittiği varsayılır. Bu nedenle büyük örneklem özelliklerine asimtotik özellikler denir. Bunlar sırasıyla, asimtotik sapmasızlık, tutarlılık ve asimtotik etkinliktir.
i. Asimtotik sapmasızlık, tahmincinin asimtotik ortalamasının yani beklenen değerinin gerçek parametre değerine eşit olduğunu ifade etmektedir. Burada gözlem sayısının sonsuza gittiği varsayılır. lim!→! E (𝛽) = β ii. Eğer bu koşul sağlanıyor ve gözlem sayısı sonsuza giderken varyans sıfıra yaklaşıyorsa tahmincisi 𝛽 tutarlı tahmincidir. iii. Öte yandan 𝛽 hem tutarlı tahminci, hem de diğer tahmincilerden daha düşük varyanslı ise 𝛽 , gerçek parametrenin asimtotik etkin tahmincisi olduğunu söyleyebiliriz.
En Küçük Kareler Yöntemi
En küçük kareler yöntemi temel olarak, ortalamadan sapmaların kareleri toplamını minimum yapan β0 ve β1 katsayılarının belirlenmesine dayanır. EKK yöntemiyle değişkenler arasındaki ortalama ilişkiler belirlenir ve bu ilişkinin gerçeğe en yakın şekilde tahmin edildiği varsayılır. Burada ana kütleden rassal olarak seçilen bir örneklemden elde edilen veriler kullanılarak gerçek durumu en iyi temsil eden β0 ve β1 katsayılarının tahmin edilmesi amaçlanır.
En küçük kareler yöntemi kısaca, ortalamadan sapmaların kareleri toplamını minimum yapan β katsayılarının belirlenmesi yöntemidir.
Katsayı Tahminlerinin Yorumlanması
Sabit katsayı bağımsız değişkenin “0” olması durumunda bağımlı değişkenin alacağı değerdir. Öte yandan bağımsız değişken ile bağımlı değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve kuvvetini gösteren β1 katsayısı ise 0.8 olarak belirlenmiştir ve bu modelimizde marjinal tüketim eğilimini temsil etmektedir. Buna göre harcanabilir gelirde meydana gelen “1” birimlik artış, tüketim harcamalarını “0.8” birim artıracaktır.
34. Sayfa Grafik 2.5’te belirtildiği üzere; en küçük kareler yöntemi ile tahmini yapılan Keynesyen tüketim fonksiyonu gösterilmektedir. Burada C için gözlem değerleri serpme noktaları şeklinde gösterilmiştir. En küçük kareler yönteminde de amaç tahmin edilen fonksiyon ile serpme noktaları arasındaki uzaklıkların yani hata terimlerinin kareleri toplamını minimum yapmaktır.
Katsayı Tahminlerinin Anlamlılık Testleri
Ekonometrik analizlerdeki temel amaç ana kütleden rassal olarak seçilen bir örneklem yardımıyla ana kütle hakkında çıkarsama yapabilecek tahminlerde bulunmaktır. Bu amaçla iktisat teorisine dayanan ekonometrik modeller çeşitli yöntemler yardımıyla tahmin edilir ve katsayılar belirlenir. Ancak bu tahminlerin hem iktisadi olarak hem de istatistiksel olarak anlamlılığının test edilmesi gerekir.
Dolayısıyla burada basit doğrusal regresyon modelinin tahmin sonuçlarına ilişkin hipotez testlerine de ihtiyacımız vardır.
R2 (Belirlilik Katsayısı)
Tahmin edilen regresyon fonksiyonunun serpme diyagramındaki gözlemleri en iyi şekilde temsil edebilmesi için bu fonksiyonun serpme noktalarına ne kadar yakın olduğu modelin gerçek olayı açıklayıcılığı açısından son derece önemlidir. Belirlilik katsayısı da bu serpme noktalarının yani gözlem değerlerinin regresyon fonksiyonuna ne kadar yakın olduğuna dair bir ölçüttür ve temel olarak bağımlı değişkendeki değişiminin yüzde kaçının bağımsız değişken tarafından açıklandığını ifade eder.
t ve F testi
Tahmin edilen bir modelin istatistiksel olarak anlamlılığını sınayan testler temel olarak t ve F testleridir. Burada t-testi iki ortalama arasındaki farkın istatistiksel olarak anlamlılığı sınayan doğrusal bir yöntemdir ve tahmin katsayılarının bireysel olarak anlamlı olup olmadığını test eder. F testi ise katsayıların eşanlı olarak anlamlılığını sınar ve modelin bir bütün olarak anlamlı olup olmadığı hakkında fikir verir.
t testi hata terimlerinin varyansının bilinmediği durumlarda -ki genellikle bilinmez- bireysel olarak katsayıların anlamlılığının sınanmasında kullanılan istatistiksel bir yöntemdir. İstatistiksel olarak tahmin edilen katsayısının sıfıra eşit olması o katsayının anlamlı olmadığını ifade eder.
Bu nedenle tahmin edilen katsayının anlamlılığını sınarken katsayının istatistiksel olarak 0’a eşit olup olmadığını test etmemiz gerekir. Buna olanak sağlayan test ise t testidir. t testi için sıfır hipotezi (veya boş hipotez) şu şekilde kurulur: H0 : β = 0 Öte yandan alternatif hipotez eğer test çift taraflıysa, H1 : β ≠ 0
Tahmin edilen katsayının istatistiksel olarak anlamlı olduğunu söyleyebilmemiz için burada sıfır hipotezini reddetmemiz gerekir.
Eğer hesaplanan t değeri mutlak değer olarak tablo kritik değerinden büyükse H0 reddedilir ve katsayısının istatistiksel olarak anlamlı olduğunu sonucuna varılır. Yani, |t| > |t a, n-k| ise H0 reddedilir
Burada tablo kritik değeri belirlenirken anlam düzeyi ve serbestlik derecesi referans alınır. t a, n-k ifadesindeki α anlam düzeyini, n-k ise serbestlik derecesini temsil etmektedir. Anlam düzeyi tek taraflı testlerde genellikle % 5 olarak belirlenir. Eğer test çift taraflıysa anlam düzeyi α/2 olarak alınır. Öte yandan serbestlik derecesini gösteren n-k ifadesindeki n, gözlem sayısını, k ise tahmin edilen parametre sayısını ifade etmektedir. Basit doğrusal regresyon modelinde tahmin edilen parametre sayısı 2 olduğu için serbestlik derecesi n-2 olarak belirlenir.