İKT303U-MATEMATİKSEL İKTİSAT
Ünite 4: Ünite: Eşanlı Denklem Sistemleri
Doğrusal Denklem Sistemleri
İktisatta eşanlı denklem sistemini çözmek için:
1. Eğim-Kesişim 2. İkame (Yerine Koyma) 3. Eleme
metotları kullanılır.
1.𝑦 cinsinden yazılmış iki doğrusal fonksiyonun grafikleri çizilerek eşitleme yapılır ve diğer bilinmeyen 𝑥 bulunur. Daha sonra herhangi bir eşitlikte yerine yazılarak 𝑦 elde edilir.
2.Denklem sisteminde bir fonksiyondaki 𝑥 veya 𝑦 alınır diğer kullanılmayan doğrusal fonksiyon yerine yazılarak değişkenlerden biri bulunur.
Doğrusal Denklemlerin İkame (Yerine Koyma) Metoduyla Çözümü
İki bilinmeyenliden çok bilinmeyenliye iki denklemden çok denkleme olan sistemleri çözüm adımlarını içerir.
Bir denklemi çözmek için önce eşitlikleri sonra bilinmeyenleri sayarız.
• Eşitlikten fazla bilinmeyen varsa sistem çözülmez. • Eşitlik az bilinmeyen fazla ise sayıp kontrol etmek gerekir.
Doğrusal nedir?: Kontrol edilen bütün eşitliklerin 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 formatında ve üs, kare, kök, 𝑥𝑦 ve 𝑥/𝑦 olması durumuna doğrusallık denir. Bu durum 𝑎 veya 𝑏 nın 0 ya da 1 olduğu durumlarını da içerir.
Bağımsız nedir?: Bağımsız olmama durumu daha kolay gösterilir. Örneğin 𝑦 = 𝑥 𝑣𝑒 2𝑦 = 2𝑥 denklemleri bağımsız değildir.
Tutarlı nedir?: Bir değişkenin aynı anda iki değere eşit olmasıyla ifade edilir.
Denklemlerde doğru sayıda eşitlik, doğru sayıda bilinmeyen doğrusallık, bağımsızlık ve tutarlılık olduğu bulunur. İki denklem birbirine eşitlenir ve bilinmeyenlerden biri bulunur. Diğer değişkeni bulduğumuz değişkeni denklemlerden birinde yerine yazarak hesaplarız.
Üç bilinmeyenli üç eşitlik iki bilinmeyen iki denkleme göre daha kolay çözümlenir. Bu sistem;
• İki davranışsal veya politika denklemi • Optimizasyon ya da denge denklemi gibi bir yaklaşma kuralıyla çözülür.
Değişkenler 𝑞!, 𝑞" 𝑣𝑒 𝑝 olsun.
• Arz ve talep eşitlikleri birbirine eşitlenerek 3-3 lükten 1-1 lik sisteme dönüştürülür. • Bilinenler bir tarafa bilinmeyenler bir tarafa alınarak tek değişken bulunur.
• Bulunan değişken yerine yazılarak ikinci değişken bulunur. • Bulunan değerler bir diğer denklemde yerine yazılarak sağlaması yapılmış olur.
Sistemde dört bilinmeyen dört denklem vardır. Eğer iktisadi olarak hangi denklemin denge koşulunu ifade ettiğini bilmiyorsak matematiksel olarak bütün değişkenlerin bulunduğu denklem seçilir.
• İndirgenmiş form elde edilir. • Denklemde bulunan değişkene göre çözüm yapılır. • Diğer tüm denklemlerde yerine yazılır, çözüm bulunur. • Kullanılmayan denklemde tüm değişkenler yerine yazılarak sağlaması yapılır.
Eleme metodunda verilen iki denklem için birincisinde ilk değişkenin katsayısı ile ikinci denklemi, ikincisindeki ikinci değişken katsayısı ile de birinci denklemi çarparız. Ve denklemleri birbirinden çıkarırız. Değişkenlerden birini buluruz. Herhangi birinde yerine yazarak ikinci değişkeni de buluruz. Sistem çözülmüş olur.
Doğrusal eşzamanlı denklem sistemi,
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒 ile gösterilir. 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
Bu denklem çözümsüz, tek çözüm veya sonsuz çözüme sahip olabilir. Bu iki denklem de 𝑦 değişkenlerini eşitliklerin bir tarafında yalnız bırakalım (Eğim-kesişim formunda yazalım). Burada 𝑏 ve 𝑑 nin sıfır olmaması gerekir. Bu iki denklemde 𝑥 değişkeninin önündeki katsayılar eşit ise bu iki doğrunun eğimleri eşittir. Yani özdeş veya paraleldir. Yani doğru üzerindeki tüm noktalar sağlayacağından sonsuz çözüme sahiptir.
y=c/b- a/b x
y=f/d-c/d x
Doğrusal olan denklemi 𝑥 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝑦 değişkenlerinden biri için çözeriz ve sonucu doğrusal olmayan denklemde yerine koyarız.
Doğrusal Denklem Sistemlerinin Ekonomik Uygulamaları
Arz ve talep modeli, tüketici ve üretici davranışlarının fiyat değişmeleri gösterir.
Her ne kadar bir malın talep edilecek miktarını belirleyen en önemli faktör o malın fiyatı ise de genel olarak, piyasada veri bir zamanda bir malın talep edilen miktarını o malın fiyatı, tüketicilerin gelirleri, ilgili malların fiyatlarındaki değişmeler, tüketicilerin zevk ve tercihleri ve tüketicilerin beklentileri gibi birçok faktör etkiler.
Bir malın talep edilme nedenleri araştırılır.
• Talep fonksiyonu kavramı, tüketici teorisine dayanır.
• Talep fonksiyonu, talep edilen mal miktarını fiyatın ters fonksiyonu olarak ifade eder ve aşağıdaki şekilde ifade edilir.
𝑞! = −𝑎𝑝 + 𝑏,
fonksiyonda; 𝑞𝐷 talep edilen mal miktarını, p piyasa fiyatını
ifade eder ve 𝑎 ve b pozitif parametrelerdir.
• Talep eğrisi (doğrusu) negatif eğimlidir. Bu ters yönlü ilişkiye Talep Kanunu denir. • Mal miktarı bağımlı ve piyasa fiyatı bağımsız değişkenini gösterir.
Talep eğrisi, y ekseni talep edilen miktarı, x ekseni ise malın fiyatını gösterecek şekilde yerleştirilerek doğru çizimi yapılır.
Arz;
• Firma teorisine dayanır. • Doğrusaldır. Fiyat arttıkça arz da artar. Bu ilişkiye arz kanunu denir. • 𝑞# = 𝑐𝑝 + 𝑑 fonksiyonda; 𝑞𝑆 arz edilen mal miktarını ifade
eder. • Pozitif eğimlidir.
Arz eğrisi, y ekseni arz edilen miktarı, x ekseni ise malın fiyatını gösterecek şekilde yerleştirilerek doğru çizimi yapılır. Arz-talep piyasa dengesinde
• Denge koşulu; 𝑞$ = 𝑞# • 𝑞$ > 𝑞#
Arz edilen miktardan daha fazla miktarda mal satın alınmak isteniyordur. • 𝑞$ > 𝑞#
Talep edilen miktardan daha fazla miktarda mal arz etmek isteniyordur.
Piyasa arz ve talep fonksiyonlarının çizildiğinde bu doğruların kesiştikleri nokta denge durumunu gösterir.
Piyasa fiyatı denge fiyatının altında olduğundan, talep fazlalığından dengesizlik oluşacaktır.
Karşılaştırmalı Statik Denge Analizi
Sistemde gerçekleşen şokların yol açtığı yeni oluşan dengeyi ilk denge ile karşılaştırmak için temel düşünce karşılaştırmalı statik denge analizi kullanılır.
Piyasa Dengesi gelirlerin artışı nedeniyle ilk talep doğrusuna paralel olacak şekilde çizilir. Denge noktası yukarı kayar.
Verginin etkisini analiz etmek için ilk önce piyasa fiyatı p, ile satıcıların eline geçen fiyatı p’, arasındaki ayrımın farkına varılmalıdır.
Verginin satıcılara yüklenmesi durumunda, p piyasa fiyatından ürününü satan satıcı, t lira kadar vergiyi devlete ödemek zorundadır ve bu yüzden sattığı her birimden piyasa fiyatı olan p değil de, p' = p - t alır.
Ekonominin bütününde özellikle gelir seviyesinin nasıl belirlendiğini göstermenin bir yolu da doğrusal bir makroekonomik model kullanımıdır.
Makroekonomik denklik,
𝑌 ≡ 𝑄 𝑣𝑒 𝑄 ≡ 𝐸
olarak ifade edilir.
𝑌 ≡ 𝐸 olarak bulunur. Devletin olmadığı veya kamu harcamalarının sıfır olduğu kapalı bir ekonomide toplam harcamalar (E), ekonomik bireylerin tüketim harcamalarıyla (C), firmaların yatırım harcamalarını, (I), içerir. 𝐸 ≡ 𝐶 + 𝐼
Tüketim fonksiyonu 𝐶: = 𝑎𝑌 + 𝑏
olur. 𝐶: , planlanan tüketimi; a ve b, pozitif parametrelerdir
ve a parametresi sıfırdan büyük ve 1’den küçük değer alan Marjinal Tüketim Eğilimini (MPC) ifade eder. Pozitif eğimin anlamı ise harcanabilir gelir arttıkça, Y, tüketim 𝐶:
artar. Tasarruf gelirin harcanmayan kısmıdır ve planlanan tasarruf, 𝑆< ≡ 𝑌 − 𝐶= formülüyle bulunur.
Yatırım harcamalarındaki bir artış toplam talep fonksiyonunda yukarı yönlü bir kaymaya neden olur,
E = 𝐶> + 𝐼 , I ve denge gelir düzeyinin artışıyla sonuçlanır.
Doğrusal İktisadi Modellere İlişkin Örnek Çözümler
Bir piyasa için talep ve arz fonksiyonları
𝑄 $ = 𝑎 + 𝑏𝑃
𝑄# = 𝑐 + 𝑑𝑃
ifade edilir ve piyasa denge fiyat ve miktarı ise
𝑎– 𝑐 𝑎𝑑– 𝑏𝑐 𝑃 = 𝑣𝑒 𝑄 = 𝑑– 𝑏 𝑑 − 𝑏
olarak ifade edilir.
Tüketiciler tarafından ödenen fiyat (P), arz ediciler tarafından alınan fiyat (P - t)’ye eşit değildir, bu yüzden P fiyatının “tüketicilerin ödediği fiyat” olduğunu tekrar belirtelim. İki eşitliğimiz ancak üç değişkenimiz vardır (P, Q ve t). Bunun anlamı her değişkenin çözümünü içlerinden biri ekzojen (dışsal) olarak verilmedikçe yapamayız.
Genel formda tüketim fonksiyonu,
𝐶 = 𝑎 + 𝑏𝑌
olarak ifade edilir ve buradan denge gelir, denge tüketim düzeyi ve çarpan formları sırasıyla,
𝑎 𝐼 𝑌 = + 1 − 𝑏 1 − 𝑏 𝑎 𝑏𝐼 𝐶 = + 1 − 𝑏 1 − 𝑏 1 𝑉𝑒 ç𝑎𝑟𝑝𝑎𝑛 = 1 − 𝑏 olur.