FİN102U-FİNANS MATEMATİĞİ
Ünite 6 : Borç Ödemeleri
Giriş
Borçların belli bir ödeme planı içerisinde geri ödenmesine teknik olarak borç itfası ya da borç amortismanı denilmektedir. Uzun vadeli borçlar, normal olarak uzun vadeli senetlerle ya da vadeleri bir yılı aşan tahvillerle elde edilir.
Toplu olarak devre başında alınan bir borcun taksitlerle amortismanında da taksitler çoğu zaman eşit aralıklarla ve eşit miktarlarda olur; yani tipik bir normal anüite görünümü sergiler.
Her Devre Faizin, Vade Sonunda Anaparanın Bir Defada Ödendiği Borçlanmalar
Bu tip borç geri ödemelerinde borçlu her devre sonunda sadece tahakkuk eden devre faizini öder. Böylece anapara her devrenin sonunda sabit kalır. Borç vadesinin bitiminde de anapara aynen başlangıçta alınan tutar kadar geri ödenerek borç tamamen amorti edilmiş olur.
Son devrenin sonunda anapara tutarı ödenirken, son devrenin faizi de ödeneceğinden anapara + bir devrelik faiz kadar bir ödeme yapılacaktır.
Her devre sonunda ödenecek birer devrelik faiz tutarları;
I = P × i formülü ile hesaplanır. Burada;
I = Faiz tutarı P = Borç anaparası i = Devre faiz oranı
nı ifade etmektedir. Bütün vade boyunca ödenecek toplam faiz tutarı bulunmak istenirse;
I (toplam) = P × i × n
formülü ile hesaplanır. Burada n = Devre sayısı’dır.
Borç karşılığından anapara ve faiz ödemesi olarak toplam ödenecek miktar bilinmek istenirse;
S = P ( 1 + i × n)
formülü ile hesaplama yapılır. Burada S sembolü borç için yapılacak toplam ödemeleri (anapara + faizler) göstermektedir.
Örnek: Bir işletme almış olduğu ¨220.000’lik bir borçla ilgili olarak 4 yıl boyunca sadece faizini, 4. yılın sonunda da borcun anaparasını ödeyecektir. Yıllık faiz oranı %16 ise;
a. Her yıl ödenecek taksitleri, b. Son devrede ödenecek tutarı, c. Yapılacak toplam ödemeyi bulunuz.
Çözüm:
P = 220.000 n = 4 i = %16
a. I = P × i = 220.000 × 0,16 = ¨35.200
b. Son devre ödemesi = anapara + son devrenin faizi = 220.000 + 35.200
= ¨255.200 c. S = P (1 + i × n)
= 220.000 (1 + 0,16 × 4) = ¨360.800
Tipik bir tahvilli borcun geri ödenmesi de çoğunlukla bu şekilde olur.
Anapara ve Faizin Vade Sonunda Bir Defada Ödendiği Borçlanmalar
Bu tür borç geri ödemelerinde; vade boyunca faiz ve anapara için bir ödeme yapılmamakta, vade bitiminde tüm vade boyunca tahakkuk eden faiz anaparayla birlikte tek seferde ödenmektedir. Bu tür borçlanmalarda devrelerde faiz ödemeleri olmadığından devre sonundaki toplam ödenecek tutar bileşik faiz yaklaşımıyla hesaplanacaktır. Hesaplamalarda S = P (1 +i)n formülünden yararlanılır.
Eşit Taksitlerle Ödenen Borçlanmalar
Borcun eşit taksitlerle ödenmesi farklı şekillerde olabilir. Eşit taksitlerin ödenmesine borcun alındığı devrenin sonunda başlanabilir. Bu durum normal bir anüiteye örnek teşkil eder.
Eşit taksitler borcun alındığı devrenin başında da başlayabilir; yani ilk taksit borçlanmanın yapıldığı anda ödenebilir. Bu durumda hesaplama peşin anüite yaklaşımıyla yapılır.
Bir başka durum ise eşit taksitlerin borcun alındığı tarihten daha sonraki bir tarihte başlamasıdır. Bu tür borç amortismanında da geciktirilmiş anüite hesaplamalarından faydalanılır.
Bir borcun eşit taksitlerle ödenmesinde her taksit belli oranda faiz ve belli oranda anapara ödemesi içerir. Dolayısıyla her taksitten sonra anaparadan kalan borç azalır. Bu da bir sonraki devrenin faizinin azalması, dolayısıyla ödenen taksitte faiz ödemesinin payı azalırken anapara ödemesinin payının artması anlamına gelir. Bu döngü içinde anaparadan kalan borç her taksitte azalarak son taksitte tamamen kapanmış olur.
Periyodik Ödemelerin (Eşit Taksitlerin) Hesaplanması
Taksitler devre sonunda ödeniyorsa normal anüite formülü kullanılacaktır.
Örnek: Bir işletme 1.200.000 TL’lik kredi kullanacaktır. Yıllık faiz oranı %15 olduğuna ve kredi 10 yılda geri ödeneceğine göre aylık ödemeler ne kadar olacaktır?
Çözüm:
R = 1.200.000 n = 120 (10 x 12) i = 0,0125(0,15/12) q = 1,0125 (1+0,0125) a = ?
!!!! R = a × ! ! (!!!)
!,!"#$!"#!! 1.200.000 = a × !"# !,!"#$ ∗(!,!"#$)
a = ¨19,360
Örneklerin, Finansal Hesaplayıcı Bilgisayar Programı ile Çözüm örnekleri için Sayfa 140 incelenebilir.
Kalan Borç Miktarının Bulunması
Kalan borç miktarı tüm taksitlerin eşit olması ve son taksit dışındaki taksitlerin belli bir miktar yuvarlanması ile son taksitin bu yuvarlamaların düzeltilmesi için farklı olması şeklinde iki durum için hesaplanabilir.
Bir borç, devre sonlarında yapılan eşit taksitlerle geri ödeniyorsa, eşit taksitler normal anüite formülünden bulunur. Burada borcun anaparası anüitenin bugünkü değeri olacaktır.
Borcun vadesinden önce herhangi bir zaman noktasında kalan borç bulunmak istenirse, o tarihten sonra ödenecek taksitlerin bugünkü değeri anüite formülü ile hesaplanarak sonuç elde edilmiş olur.
Örneklerin, Excel’de hazırlanmış itfa programı ile çözümü için Sayfa 142-143 incelenebilir.
Herhangi Bir Taksitteki Anapara Payının Bulunması
Herhangi bir taksitteki anapara payı; kalan borca dayalı olarak, ilk taksitteki anapara payına dayalı olarak ya da eşit taksit tutarına dayalı olarak üç farklı şekilde hesaplanabilir.
Kalan borca dayalı olarak herhangi bir taksitteki anapara payının bulunması;
1. Devre başında kalan borç, daha önce anlatılan şekilde (kalan ödeme sayısına dayalı olarak anüite formülü ile) hesaplanır. 2. Devre başında kalan borç ile devre faiz oranı çarpılarak devre faiz tutarı hesaplanır. 3. Devre faiz tutarı, her devre yapılan eşit ödeme tutarından çıkarılarak taksitin faizden sonra ne kadarının anapara ödemesine gittiği belirlenmiş olur.
İlk taksitteki anapara payına dayalı olarak herhangi bir taksitteki anapara payının bulunması:
Alınan kredi P, taksitteki anapara payları a1, a2, ... an faiz tutarları I1, I2, ... In ile gösterildiğinde n taksitlik bir borç itfasında, taksitler eşit olduğu için şu şekilde yazmak mümkündür;
a a(1 + i)x-1 x = 1
Eşit taksitlere (a) dayalı olarak herhangi bir taksitteki anapara payının bulunması:
ax = herhangi bir devrede ödenen anapara payı olmak üzere;
𝐚 ax = 𝐧!𝐱!𝟏 eşitliği kullanılabilir. (𝟏!𝒊)
Herhangi Bir Taksitteki Faiz Payının Hesaplanması
Herhangi bir devre faiz tutarı Ix ile gösterildiğinde;
𝟏 Ix = 𝒂(𝟏 − 𝐧!𝐱!𝟏) ile faiz payı formüle edilir. (𝟏!𝒊)
Bir Devrenin Sonuna Kadar Yapılan Anapara Ödemeleri Toplamının Bulunması 𝒙 𝒂 = 𝑘 devre boyunca yapılan toplam anapara 𝒌 ! 𝟏 𝒌 ödemesi olmak üzere; 𝒙 (𝟏!𝒊)𝐱 !𝟏 𝒌 ! 𝟏 𝑎! = 𝑎! formülü ile bulunur. 𝒊
Konu ile ilgili örnekler için Sayfa 147-148 incelenebilir.
Eşit Anapara Paylı Olarak Ödenen Borçlanmalar
Kimi borçlanmalarda her devre anapara payları eşit olarak ödenmek istenebilir. Bu durumda her taksitteki anapara payları eşit olurken, her devre ödenecek faiz payları değişecektir. Böyle bir ödeme planında her devre yapılacak ödemeler eşit olmayacak; ancak her devre azalan anaparaya bağlı olarak devre faizinin de azalması nedeniyle gittikçe küçülecektir.
Birinci yılın başındaki borç K ile, itfa süresi n ile, eşit anapara paylar da T ile gösterilirse, T şu şekilde hesaplanır;
T = K / n
Örnek ve çözümü için Sayfa 139-140 incelenebilir.