FİN102U-FİNANS MATEMATİĞİ
Ünite 5: Anüitelerde Bugünkü Değer
Giriş
Günlük ve ticari hayatta, peşin ve taksitli fiyatı bilinen bir ürünün hangi şekilde alınmasının daha avantajlı olduğu, gelecekte belli sayıda taksitler elde edilebilmesi için dönem başında tek seferde hangi tutarın yatırılması gerektiği ve bunun gibi pek çok soruya anüitenin bugünkü değeri hesaplaması ile cevap verilir.
Normal Anüitelerde Bugünkü Değerin Hesaplanması
Ödemelerin ya da taksitlerin her devrenin sonunda gerçekleştiği anüite türüne normal anüite denir.
Her devrenin sonunda belli sayıda taksitlerle ödenecek bir borç, bugün tek seferde ödenip kapatılması isteniyorsa, hangi tutarın ödenmesi gerektiğini; peşin ve taksitli fiyatını bildiğimiz bir ürünü hangi şekilde almanın daha avantajlı olduğunu tespit etmek için taksitlerin bugünkü değerlerinin ne olduğunu; ya da belirli dönemler sonunda eşit taksitlerin alınabilmesi için bugün hangi tutarın yatırılması gerektiğini tespit edebilmek için anüitenin bugünkü değerini hesaplamamız gerekir.
Eşit ödemeleri ¨1 olan, n devrelik anüitenin bugünkü değeri aşağıdaki eşitlik yardımıyla bulunabilecektir:
! ! ! ! ! 𝑅 = + ! + ⋯ + !!! + !!! + ! !!! !!! !!! !!! !!!
Burada;
R = Anüitenin bugünkü değerini, n = Taksit sayısını, i = Devre faiz oranını
ifade etmektedir. Formülde gerekli matematiksel kısaltmalar ve düzenlemeler yapıldığında anüitenin bugünkü değerini veren formül;
!!!! 𝑅 = 𝑎 × ! olmaktadır. ! × !
“q” açık haliyle yazılırsa eşitlik;
!!! !!! 𝑎 × ! şeklini alır. !!! × !
Örnek: Her dönem sonunda üç dönem boyunca yatırılan
¨50’nin %7 devre faiz oranı ile bugünkü değeri nedir?
Formül yardımı ile çözümü:
!!!! 𝑅 = 𝑎 × ! ! × !
a = 50 i = %7 (0,07) q = 1,07 (1 +0,07) n = 3 R = ?
!,!"!!! 𝑅 = 50 × ! !,!" × !,!"
R = ¨131,22
Örneğin Hazır Tablolar ile çözümü:
1. Adım: Kitabınızın sonunda bulunan “(¨1 için) Anüitenin Bugünkü Değeri” tablosu açılır. Bu tabloda çözülmesi istenen sorunun devre sayısı sol sütundan (Örnek için; 3), faiz oranı da üst satırdan (Örnek için; %7) bulunur. Bu iki değerin çakıştığı hücredeki katsayı sorunun çözümünde kullanılacak katsayıdır. (Örnek için 2,624). Bu
katsayı, eşit taksitler ¨1 olsa anüitenin bugünkü değerinin ne olacağını gösteren katsayıdır. Yani !!!! anüitenin bugünkü değeri formülündeki !! ! teriminin sonucudur. 2. Adım: Bulunan bu katsayı her devre yapılacak eşit ödeme tutarı ile çarpılarak anüitenin bugünkü değeri
bulunur. (Örnek için R = 50 × 2,624 = ¨131,2).
Konu ile ilgili çözülmüş örnekler ve Excel ile Finansal hesaplayıcı bilgisayar programı yardımıyla çözümler için kitabınızın 111-116. Sayfaları incelenebilir.
Peşin Anüitelerde Şimdiki Değer
Her devre ödemesinin, normal anüitede olduğu gibi o devrenin sonunda değil de başında yapıldığı anüitelere peşin anüite denir. Peşin anüitelerin en tipik örnekleri, sigorta prim ödemeleri, memur maaşları ve gayrimenkul kiralarıdır.
Normal anüiteye göre burada her bir taksit bir dönem daha az iskontolanacaktır.
Ödemelerin devre başında yapılması durumunda anüitenin şimdiki değeri her bir ödemenin bugünkü değerlerinin toplanmasıyla bulunacaktır.
! ! ! ! 𝑅 = + ! + ⋯ + !!! + !!! !!! !!! !!! !!!
Ödemelerin devre başında yapılması ile devre sonu yapılması arasında bir devrelik faiz farkı vardır. Formülde gerekli düzeltmeler ve kısaltmalar yapıldıktan sonra;
!!!! 𝑅 = 𝑎 × ! q terimi açık olarak yazılırsa, ! × ! !!! !!! 𝑅 = 𝑎 × 1 + 𝑖 ! !!! × !
Örnek; Daha önce normal anüite için çözülen örneğin (üç
dönem boyunca yatırılan ¨50’nin %7 devre faiz oranı ile) peşin anüite olması durumunda bugünkü değer ne kadar fark eder?
!".!!! !".!!! 50.000 + ! + ! = ¨140,40 (!,!") (!,!")
Daha önce çözülen örnekte her dönem sonunda, üç dönem
boyunca yatırılan paranın bugünkü değeri ¨131,22 çıkmıştı.
Fark = 140,40 – 131,22 = ¨9,18
Bu fark her bir ödemenin bir devrelik faiz farkından kaynaklanmıştır.
Konu ile ilgili çözülmüş örnekler ve Excel ile Finansal hesaplayıcı bilgisayar programı yardımıyla çözümleri için kitabınızın 118-121. Sayfaları incelenebilir.
Geciktirilmiş Anüitelerde Bugünkü Değer
Geciktirilmiş anüitelerde ilk ödeme ilk faiz devresinin bitiminden belli sayıda devre daha sonra, herhangi bir zamanda yapılan anüitelerdir. Örneğin borç alan bir kişinin borç geri ödemelerine borçlandığı tarihten belli sayıda devre (örneğin 3 yıl) sonra başlaması durumunda, ödemeler serisi bir geciktirilmiş anüite olacaktır.
Geciktirilmiş anüitelerin bir başka örneği de televizyonlarda beyaz eşya reklamlarında sıkça duyduğunuz, “şimdi alın, 6 ay sonra ödemeye başlayın” şeklindeki sloganlarla kamuoyuna sunulan ödeme planlarında ortaya çıkar. Böylesi bir durumda da müşteri buzdolabını bugün alır, altı ay hiçbir ödeme yapmaz ve altı ay sonra başlamak üzere 12 ayda buzdolabının bedelini öder. Dolayısıyla ortaya çıkan ödemeler serisi bir geciktirilmiş anüite örneğidir.
Geciktirilmiş anüitelerde ödemeler genellikle devre sonlarında yapılır; ancak, istisna olarak devre başında da olabilir. “n” devre devam edecek bir anüitenin geciktirilme süresi “g” ise böyle bir anüitenin bugünkü değeri
!!!! 𝑅! = 𝑎 × !!! ! × !
formülü ile hesaplanır.
Örnek: Bir banka büyükbaş hayvancılık yapacak çiftçilere ve girişimcilere beş yıl ödemesiz dönemden sonra her altı ayda bir ödenecek taksitlere altı yılda geri ödenecek kredi
vermektedir. Yıllık faiz oranı %14 ise ¨250.000 kredi
alacak bir kişinin altı ayda bir ödeyeceği taksitler kaç ¨ olur?
Rg = 250.000 i = 0,07 ( %14 / 2 = %7) q = 1,07 (1+0,07) n = 12 (6 x 2) g = 10 (5 x 2) a = ?
!!!! 𝑅! = 𝑎 × !!! ! × ! !,!"!"!! 250.000 = 𝑎 × !"!!" !,!" × !,!"
a = ¨61.917
Konu ile ilgili çözülmüş örnekler ve Excel ile Finansal hesaplayıcı bilgisayar programı yardımıyla çözümleri için kitabınızın 123-125. Sayfaları incelenebilir.
Daimi Anüitelerde Bugünkü Değer
Devamlı anüite ya da sürekli anüite de denilen daimi anüiteler, ödemeleri belirli bir tarihte başlayan, ancak
belirsiz bir geleceğe kadar ya da sonsuza kadar devam eden anüitelerdir.
İmtiyazlı hisse senedi kar payları (şirketin iflas etmeyeceği varsayımıyla), bir arsadan alınan kira, bankaya yatırılan bir paradan sürekli belli bir getiri olarak alınan eşit ödemeler, nadiren de olsa örnekleri bulunan sonsuz vadeli tahvillere yapılan faiz ödemeleri, bu anüite türüne örnek olarak gösterilebilir.
Daimi anüitelerde ödemeler devre başında ya da devre sonunda olabilir. Ödemelerin devre başında olması durumunda daimi anüite formülü peşin anüitede bugünkü değer formülünde “n” yerine “ ∞ ” konularak aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanabilir:
! × ! 𝑅! = !!!
“q” terimi açık olarak yazılırsa formül;
!(!!!) 𝑅! = halini alır. !
Örnek; Emekli ikramiyesi olan ¨300.000’yi, yıllık %18 faiz veren bir bankaya yatıran bir şahıs, her ayın başında hangi taksitleri faiz olarak bankadan alabilecektir?
R∞ = ¨300.000
i = 0,015 (0,18/12)
a = ?
! !!! 𝑅! = ! ! !!!,!"# 300.000 = !,!"#
a = ¨4.433,50
Konu ile ilgili çözülmüş örnekler ve Excel ile Finansal hesaplayıcı bilgisayar programı yardımıyla çözümleri için kitabınızın 126-127. sayfaları incelenebilir.