FİN102U-FİNANS MATEMATİĞİ
Ünite 4: Anüitelerde Gelecek Değer
Anüitelerde Gelecek Değer
Günlük iş yaşamında, kurumsal ve kişisel finansal işlemlerde bir tahsilat ya da ödemenin tek bir seferde değil de birden fazla seferde yapılması sıklıkla karşılaşılan bir durumdur. Dolayısıyla birden fazla yapılan ödemeler serisinin de belli bir zaman noktasındaki değerinin bilinmesine sıklıkla ihtiyaç duyulur. Örneğin geriye altı ödemesi ya da taksiti kalmış bir borcun şu anda ya da dönem sonunda tek seferde ödenmek istenmesi halinde hangi tutarda bir ödemenin yapılacağının hesaplanması gerekecektir. Bu bölümde anüite kavramı, anüitelerin gelecekteki değerinin hesaplanması, anüitelerin bugünkü değerinin hesaplanması ele alınacaktır.
Anüite Kavramı
Anüite, eşit zaman aralıklarıyla tekrarlanan, genellikle eşit miktarlı ödemeler serisidir. Emeklilik ve sigorta prim ödemeleri, kira ödemeleri, maaş ödemeleri, taksitle alınan bir eşya için yapılan taksit ödemeleri, bir tahvilin faiz ödemeleri, her yıl eşit miktarlı kar dağıtan bir imtiyazlı hisse senedinin kar payı ödemeleri, ev, taşıt ya da tüketici kredileri ile kurumsal kredilerin eşit taksitlerle geri ödemeleri anüiteye birer örnek teşkil eder. Örneğin bankadan alınan bir kredi her ay yapılacak ödemelerle 12 ayda geri ödenecekse, bu geri ödemeler eşit ödemeli 12 dönemlik bir anüiteyi ifade eder.
Tipik bir anüitede ödeme zaman aralıkları eşit olduğu gibi ödemelerin büyüklüğü de eşittir. Ancak ödemelerin belli bir kurala göre artıp azaldığı anüiteler de vardır. Bu nedenle anüite tanımı yapılırken “genellikle eşit ödemeler” ifadesi kullanılmıştır. Ödemelerin eşit aralıklarla yapıldığı ama eşit büyüklükte olmadığı anüiteler de ileride kısaca açıklanacaktır.
Anüite kavramı dilimizdeki “taksit” kavramına benzer. Bu nedenle bazı kaynaklar anüite karşılığı olarak taksit, plasman gibi terimleri tercih etmektedirler. Ancak bu terimler kavramı tam olarak karşılamadığından terimin İngilizce aslı olan “annuity” kelimesinden türetilen “anüite” terimi daha sık kullanılmaktadır.
Anüitenin “dönemi, süresi ya da vadesi” ilk ödemenin yapılacağı devrenin başından, son ödemenin yapılacağı devrenin sonuna kadar olan süredir. “Devre sayısı” anüite boyunca yapılacak ödemelerin sayısıdır. Birbirini izleyen ödemeler arasında geçen süreye ise “ödeme ya da taksit aralığı” denir.
Anüite Türleri
Sık yapılan finansal işlemlerde ve günlük hayatta karşımıza çıkan başlıca anüite türleri aşağıda açıklanmaktadır.
Normal Anüiteler: Her bir devrenin ödemesinin o devrenin sonunda yapıldığı, ödemelerin eşit aralıklarla ve eşit miktarlı olarak yapıldığı anüitelerdir. Örneğin Ocak ayının başında 10 ay taksitle bir bilgisayar alırsanız ve Ocak ayına ait ödemeyi Ocak ayının sonunda yaparsanız bu bir
normal anüitedir. Bir başka örnek de ülkemizdeki kamu işçilerinin maaşlarıdır. Ülkemizde kamu işçileri çalışıp bitirdikleri ayın maaşını alırlar. Dolayısıyla maaş ödemeleri ait oldukları devrenin sonunda yapıldığından bir normal anüitedir
Peşin Anüiteler: Her bir devrenin ödemesinin o devrenin başında yapıldığı anüitelerdir. Bu anüitelerin en tipik örneği kira ödemeleridir çünkü bir gayrimenkul kiralandığında kira ödemeleri her devrenin başında yapılır. Örneğin Ocak ayının kirası Ocak ayının ilk günü yapılır. Peşin anüiteye bir başka örnek de ülkemizdeki memur maaşlarıdır. Memurlar işçilerin aksine çalıştıkları değil, çalışacakları ayın maaşını o ayın başında aldıklarından bir memurun bir yıllık ya da altı aylık maaş ödemeleri bir peşin anüitedir.
Geciktirilmiş Anüiteler: İlk ödemesi ilk faiz devresinin bitiminde değil, bir ya da daha fazla devre geçtikten sonra herhangi bir zamanda yapılan anüitelerdir. Örneğin borç alan bir kişinin borç geri ödemelerine borçlandığı yılın sonunda değil de ikinci, üçüncü ya da daha sonraki bir yılın sonunda başlaması gibi. İlk dönemden üç dönem sonra ilk geri ödeme yapılacaksa bu üç dönem geciktirilmiş bir anüite olacaktır.
Daimi (Devamlı) Anüiteler: Ödemeleri belirli bir tarihte başlayan ancak belirsiz bir geleceğe kadar ya da sonsuza kadar devam eden anüitelerdir. İmtiyazlı hisse senedi kar payları (şirketin iflas etmeyeceği varsayımıyla), bir arsadan alınan kira, bankaya yatırılan bir paradan sürekli belli bir getiri olarak alınan eşit ödemeler bu anüite türüne örnek olarak gösterilebilir.
Bunların dışında da bazı anüite türleri bulunmaktadır. Örneğin taksitlerin peşin değerinin ödemeler başladıktan sonra hesaplandığı çabuklaştırılmış anüiteler; eşit aralıklarla yapılan ödemelerin eşit olmayıp aritmetik, geometrik ya da kuralsız olarak değiştiği değişen taksitli anüiteler gibi. Bu dersin kapsamı ve sayfa sınırı nedeniyle çok sık rastlanmayan bu anüitelere değinilmeyecektir.
Anüitelerde Gelecek Değerin Hesaplanması
Normal Anüitelerde Gelecek Değerin Hesaplanması
Her devrenin sonunda yapılacak ödemelerin anüite dönemi sonundaki değerleri toplamına anüitenin gelecek değeri denir. Anüitenin gelecek değerini bulmak her bir ödemeyi anüite dönemi sonuna kadar faizlendirip, bu faizlendirilen tutarları toplamaktan ibarettir. Dolayısıyla bildiğimiz bileşik faiz hesaplamasının belli sayıda yapılmasıdır.
Bakınız: Sayfa 87; Şekil 4.1.
Hesap makinesi ile hesaplama yapılırken işlemlerin tek bir adımda ya da birden fazla adımda yapılmasına; birden fazla adımda yapılıyorsa virgülden sonra kaç basamak alınıp yuvarlandığına bağlı olarak sonuçlar bir miktar farklılık gösterebilir. Bu küçük farklılıklar bulunan sonucun yanlış olduğu anlamına gelmez ve önemsizdir. Sınavda sizlere birbirinden önemli ölçüde farklı şıklar
verileceğinden, sizin bulduğunuz sonuçla tam olarak aynı Daimi anüiteler için bugünkü değer hesaplaması bir olmayan ancak çok yakın bir şık görürseniz bunun doğru sonraki ünitede açıklanacaktır. cevap olduğu sonucuna varabilirsiniz.
Peşin Anüitelerde Gelecek Değerin Hesaplanması
Peşin anüite her devrenin ödemesinin devre sonunda değil de devrenin başında yapıldığı anüite türüdür. Peşin anüitede gelecek değer hesaplamak aynı şekilde her bir ödemeyi anüite vadesine kadar faizlendirip vadedeki toplamlarını almak şeklinde hesaplanır. Dolayısıyla mantık aynıdır. Sadece ödemeler devre başında olduğu için her bir taksit için bir dönem fazladan faiz çalışmış olacaktır.
Bakınız: Sayfa 92; Şekil 4.2.
Şekil incelendiğinde görüldüğü gibi peşin anüite normal anüitenin her ödemesinin birer devre erkene alınması, yani her bir ödeme için birer devre daha fazla faiz işlemesi durumudur. Dolayısıyla n devrelik bir peşin anüitenin gelecek değerinin bileşik faiz mantığı ile şu şekilde hesaplanabileceği görülmektedir:
S = [a(1+i)1] + [a(1+i)2] + … + [a(1+i)n-1] + [a(1+i)n]
Bu formül sadeleştirildiğinde şu hale gelir:
𝑞! − 1 𝑆 = 𝑎 × 𝑞 𝑖
Geciktirilmiş Anüitelerde Gelecek Değerin Hesaplanması
Geciktirilmiş anüiteler, ilk ödemesi ilk faiz devresinin bitiminden sonraki herhangi bir devrede yapılan, yani ödemelerin başlamasının belli sayıda devre boyunca geciktirildiği anüitelerdir. Örneğin sık sık bazı beyaz eşya firmalarının “3 ay ödemesiz 12 ay taksitle” gibi reklamları yayımlanmaktadır. Bu şekilde alınan bir beyaz eşyaya yapılacak taksit ödemeleri üç ay sonra başlayacağından, tipik bir geciktirilmiş anüite meydana getirirler. Bir geciktirilmiş anüitenin ödemeler serisi aşağıdaki zaman çizgisi üzerinde gösterildiği gibidir.
Bakınız: Sayfa 95; Şekil 4.4.
Şekil incelendiğinde görüleceği üzere geciktirme süresini göz ardı edersek ödemenin başladığı dönemden itibaren tipik bir devre sonu ödemeli anüite görülmektedir. Dolayısıyla geciktirilmiş bir anüitede gelecek değer hesaplaması normal bir anüitede gelecek değer hesaplaması gibi olacaktır.
Daimi (Devamlı) Anüitelerde Gelecek Değerin Hesaplanması
Devre sayısı çok fazla olan ya da ödemelerin belirsiz bir geleceğe kadar devam etmesi beklenen anüitelere daimi anüite denmektedir. İmtiyazlı hisse kar payları, arsa kiraları, bankaya yatırılan bir paradan anaparaya dokunmadan her dönem sürekli alınan faizler buna örnektir. Daimi anüitelerde vade bitimi olmadığından, dolayısıyla hangi gelecek için değerin hesaplanacağı belirsiz olduğundan gelecek değer hesaplaması yapılamaz.