FİN102U-FİNANS MATEMATİĞİ
Ünite 3: Bileşik Faiz ve Bileşik İskonto
Bileşik Faiz
Basit faizle bileşik faiz arasındaki temel farklılık şudur: basit faizde üzerinden faiz hesaplanan sermaye (anapara) her devre değişmezken bileşik faizde değişmektedir. Bileşik faizde üzerinden faiz hesaplanan sermaye her devre, bir önceki devrenin faizi kadar artmaktadır.
Bileşik faizin hesaplanmasının temelde basit faiz mantığından bir farklılığı yoktur. Bileşik faizde de pratikte her devre basit faiz hesaplaması gibi faiz hesaplanmakta, ancak farklı olarak her devre anapara değişmekte, dolayısıyla her devre gittikçe büyüyen sermayeler üzerinden faiz hesaplaması yapılmaktadır. Bu ise devre sayısı arttıkça toplam değerin büyük boyutlara ulaşmasına neden olmaktadır.
Bileşik faizde, devre sayısı az olduğunda, her devrenin faizi basit faizle hesaplanabilir. Fakat devre sayısı (30, 40, 100 gibi) arttıkça bu şekilde hesaplama yapmak zorlaşır. Bu durumda bileşik faizin kolaylıkla hesaplanacağı formüllerin kullanılması gerekecektir.
Bileşik faizle ilgili hesaplamalarda kullanılan formüller ve semboller aşağıda verilmektedir:
P = Anapara Başlangıç Sermayesi (Alınan veya verilen sermaye)
i = Devre ya da dönem faiz oranı
n = Devre ya da dönem sayısı
S = Nihai sermaye, Baliğ, Sermayenin gelecekteki değeri, Sermayenin birikimli değeri
Nihai sermaye bankaya yatırılan -veya borç alınan- tutarın belirli devreler sonunda faizi ile birlikte ulaşacağı miktardır.
Bankaya yatırılan ¨1 bir devre sonunda “i” kadar faiz
getirecektir. Birinci devrenin sonunda ¨1. (1 + i)¨’ye ulaşacaktır. (1 + 𝑖) = 𝑞 denirse, ikinci devrenin faizi bu değer üzerinden hesaplanacaktır.
¨1 “n” devre sonunda qn olursa, başlangıç sermayesi ¨1
değil de P¨ olursa nihai sermaye aşağıdaki formülle bulunabilecektir:
𝑆 = 𝑃 (1 + 𝑖)𝑛
(1 + i) ifadesi “q” ile ifade edilerek eşitlik daha kısa olarak;
𝑆 = 𝑃 × 𝑞! şeklinde yazılabilir.
Faiz hesaplamalarında, devre uzunluğu ile faiz oranının uyumlu olması şarttır. Örneğin yılda bir defa değil, iki defa (altı ayda bir) faizlendirme yapılıyorsa, yıllık faiz oranı ikiye bölünerek devre faiz oranı bulunur ve işlemde bu faiz oranı kullanılır. Devre faiz oranının bulunması şu şekilde formüle edilebilir:
Devre faiz oranı = Yıllık nominal faiz oranı / yıldaki devre sayısı (faizlendirme sıklığı)
İşlemdeki devre sayısının belirlenmesinde de benzer mantık yürütülür. Yılda bir defa hesaplama yapılıyor ve para 3 yıl için yatırılıyorsa devre sayısı da 3 olarak alınır. Ancak yılda iki defa (altı ayda bir) faizlendirme yapılıyorsa, devre sayısı, yıl sayısı ile yıldaki devre sayısının çarpımı ile bulunur. Örneğin süre 3 yıl ve yılda 2 defa faizlendirme yapılıyorsa devre sayısı 6 (3 × 2) olacaktır.
Devre sayısı = Yıl cinsinden süre × yıldaki devre sayısı (faizlendirme sıklığı)
Nominal Faiz ve Efektif Faiz
Yıllık cari faiz oranına “nominal yıllık faiz” oranı denir. Yıllık nominal faiz oranı j, bir yıldaki devre sayısı m ve yıldan kısa süreli herhangi bir devrenin faiz oranı i ise; (i = j / m) eşitliği ile elde edilir.
Yıl içinde faizlendirme sayısı 1’den fazlaysa gerçekleşen yıllık faiz -efektif faiz- yıllık nominal faizden daha büyük olur.
Faiz hesaplama sıklığı, diğer bir ifade ile devre sayısı arttıkça yıllık efektif -gerçek- faiz oranı da artar. Eğer devre sayısı yılda 1 ise, yıllık nominal faiz, efektif faize eşit olur. Ancak yıllık nominal faiz oranı aynı iken yılda birden fazla faiz hesaplatılırsa efektif faiz nominal faizden yüksek olacaktır. Çünkü faizin de faizi hesaplanmaktadır.
Yıllık nominal faiz (j), yıl içinde faizlendirme sıklığı (m) verildiğinde efektif faiz (r) şu eşitlik yardımıyla bulunabilir:
! ! ! 1 + 𝑟 = (1 + ) ya da 𝑟 = (1 + 𝑖) − 1 !
Faiz hesaplama sıklığı sonsuz olarak düşünüldüğünde, genellikle gelişmiş yatırım modellerinde sıkça kullanılan bir kavram olan “sürekli bileşik faizlendirme” söz konusu ! ! ! olur. m → ∞ olduğunda (1 + ) ’nin limiti 𝑒 ! olmaktadır. Bu durumda efektif faizle ilgili eşitlik;
𝑟 = 𝑒! − 1 olmaktadır.
Bileşik Faizde Faiz Oranının Hesaplanması
Bileşik faizin temel formülünden hareketle devre faiz oranı bulunabilir:
𝑆 = 𝑃 ∗ 𝑞!
! 𝑆 𝑞 = 𝑃
Anüite ve diğer paranın zaman değeri hesaplamalarını yapabilmek için yukarıda örnekleri verilen aritmetik yöntem dışında kullanılabilecek alternatif araçlar da bulunmaktadır. Bu araçlar hesaplama yapılmasını kolaylaştırmaktadır. Bu alternatif araçlardan bazıları şunlardır:
• Hazır tablolar • Finansal hesap makineleri • Bilgisayar programları • İnternetteki çevrimiçi hesap makineleri
Bileşik Faizde Devre Sayısının Bulunması
Temel formül devre sayısına göre düzenlenirse;
𝑆 = 𝑝 ∗ 𝑞!
! 𝑆 𝑞 = 𝑃
𝑛 ∗ log 𝑞 = log 𝑆 − log 𝑃
log 𝑆 − log 𝑃 𝑛 = log 𝑞
elde edilir.
Bileşik İskonto
İskonto işleminde devre sayısı birden büyükse hesaplamanın bileşik iskonto yöntemiyle yapılması gerekir. İskontoda “iç iskonto” ve “dış iskonto” olmak üzere iki hesaplama yöntemi vardır.
Bileşik Dış İskonto
Bileşik dış iskontoda (1 + i)’nin 2’den büyük olması durumunda peşin değer negatif bir sayıya eşit olur ki, bu durum mantığa aykırıdır. Bir kimsenin iskonto oranı ve vade ne olursa olsun elindeki bonoyu ya da senedi bedelsiz ya da üste para vererek kırdırması düşünülemez. Bu yüzden bileşik dış iskontonun uygulama alanında yeri yoktur.
Bileşik İç İskonto
Bileşik iç iskontoda iskonto tutarı peşin değer üzerinden hesaplandığı için kredi değeri peşin değerin baliği gibidir. Dolayısıyla bileşik iç iskonto bileşik faizin değişik bir uygulama şeklinden ibarettir. Bileşik iç iskontoda iskonto tutarı aşağıdaki eşitlikten faydalanarak elde edilir:
𝑆 = 𝑃 ∗ 1 + 𝑖 ! !
𝐼! = 𝑆 − 𝑃!
𝐼 = 𝑃 ∗ 1 + 𝑖 ! − 𝑃 ! ! ! 𝐼 = 𝑃 1 + 𝑖 ! − 1 ! !
Nihai sermayeye, sermayenin gelecekteki değeri denildiği gibi, başlangıç sermayesine de sermayenin şimdiki (bugünkü) değeri denir. Finansal kararlarda en çok sermayenin bugünkü değeri kavramı kullanılır.
Gelecekteki değer ile bugünkü değer arasındaki ilişki şu şekilde yazılabilir:
! 𝑃 = ! olduğuna göre (1+i) ifadesi yerine “q” yazılırsa (!!!) ! eşitlik; 𝑃 = ! şeklinde kısaca yazılabilir. Şimdiki değerin ! bulunması işlemi, genellikle “iskontolama” olarak adlandırılır.
! ! ifadesi bileşik faizde bugünkü değer faktörü ya da (!!!) iskonto faktörü olarak adlandırılır.
Bonoların iskonto edilmesinde bononun faiz şartı taşıyıp taşımadığına dikkat etmek gerekir. Bono faiz şartı taşımıyorsa üzerinde yazılı olan değerin -nominal değer-
iskontolanması söz konusudur. Şayet bono faiz şartı taşıyorsa, öncelikle bu bononun kredi değeri hesaplanmalıdır.
Eşdeğer Senetlerin Değerinin Bileşik İskonto ile Bulunması
Uzun vadeli işlemlerde basit faizde olduğu gibi bir senet yerine yeni bir senedin verilmesi gerekebilir. Bu durumda mevcut senedin yeni düzenlenecek senetle eşdeğer olması gerekir. Basit iskontoda görüldüğü üzere yeni verilecek senedin diğer senede eşdeğer olabilmesi için, iç iskonto yöntemine göre hesaplanan peşin değerlerin eşdeğer olmaları sağlanır.
Bir senedin yerine yeni bir senet düzenlenirken;
𝑆 𝑆′ ! = ! (1 + 𝑖) (1 + 𝑖)!!
S = Mevcut senedin vade değeri n = Mevcut senedin devre sayısı Sʹ = Eşdeğer senedin vade değeri nʹ = Eşdeğer senedin devre sayısı
Birkaç senet yerine tek bir senet verilecekse yine aynı mantıktan hareketle;
𝑆 𝑆! 𝑆! 𝑆! ! = ! + ! + ! + ⋯ (1 + 𝑖) (1 + 𝑖) ! (1 + 𝑖) ! (1 + 𝑖) !
eşitliğinden faydalanılır. S1, S2, S3 mevcut senetlerin vade değerlerini; n1, n2, n3 mevcut senetlerin devre sayılarını göstermektedir.
Enflasyon ve Faiz
Enflasyonun yatırım getirisi üzerindeki etkisinin net olarak görülebilmesi için enflasyondan arındırılmış faiz oranı anlamına gelen reel faiz oranı hesaplanmalıdır.
Enflasyonun en sık kullanılan ölçüsü, Tüketici Fiyat Endeksi’dir (TÜFE). Bu endeks, tipik bir ailenin alımlarını temsil ettiği varsayılan belirli bir mal ve hizmet sepetini satın almak için gerekli olan T tutarını ölçer. Böylece de bir yıldan diğer yıla TÜFE’deki artış yüzdesini (enflasyon oranını) ölçer.
Faiz oranı denildiğinde nominal faiz oranı anlaşılmalıdır. Eğer reel faizden bahsedilecekse ayrıca ifade edilmelidir. Piyasa faiz oranını (nominal faiz) enflasyondan arındırıp reel getiriyi ortaya koymak için aşağıdaki eşitlikten faydalanmak gerekir.
(1 + 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝐹𝑎𝑖𝑧 𝑂𝑟𝑎𝑛ı) 1 + 𝑅𝑒𝑒𝑙 𝐹𝑎𝑖𝑧 𝑂𝑟𝑎𝑛ı = (1 + 𝐸𝑛𝑓𝑙𝑎𝑠𝑦𝑜𝑛 𝑂𝑟𝑎𝑛ı)
Enflasyondan arındırılmış faiz oranı hassas olmayan bir şekilde söyle de bulunabilir.
Reel Faiz Oranı = Nominal Faiz Oranı – Enflasyon Oranı
Ancak bu yaklaşım net sonucu değil yaklaşık sonucu verdiğinden, enflasyon ve nominal faiz oranı küçük ise
önemli sapma doğurmayabilirken, oranların büyümesi durumunda büyük sapmalar olmaktadır.
Reel faiz oranı, tasarruf arzı ile yeni yatırım talebine bağlıdır. Bu arz ve talep dengesi yıldan yıla ve ülkeden ülkeye değişir. Dolayısıyla piyasadaki nominal faiz oranları yalnızca enflasyonla değil pek çok faktörle değişiklik gösterir. Bununla birlikte enflasyonda artma beklentisi genellikle nominal faizlerde de artışlar yarattığı görülmektedir.
Nominal nakit akışları nominal faiz oranıyla, enflasyondan arındırılmış reel nakit akışları ise reel faiz oranıyla faizlendirilmeli ya da iskonto edilmelidir. Nominal nakit akışlarını reel faiz oranıyla işleme tabi tutmak, önemli bir hata olacaktır.