FİN102U-FİNANS MATEMATİĞİ
Ünite 1: Yüzde, Maliyet ve Kâr Hesaplamaları, Oran ve Orantı
Yüzde ve Binde Kavramı
Yüzde, bir bütünü yüz eş parçaya ayırıp o eş parçaların kaçını aldığımızı ifade eden bir kavramdır. Mesela bir bütünün yüzde 30’u demek o bütünün 100 eş parçasından 30’unu ifade eder. Yüzde sözcüğü 100 eşit parçaya bölünen bir büyüklüğün o sayı kadarlık parçası anlamına gelir. Yüzde işareti olan “%”, 100 sayısının rakamlarından oluşur.
Binde ise bir bütünü bin eşit parçaya ayırdığımızda o eş parçaların kaçını aldığımızı ifade eden bir kavramdır. Binde işareti olan “‰”, 1000 sayısının rakamlarından oluşur.
Yapılan ticari işlemler dolayısıyla herhangi bir miktarın kıymeti veya ağırlığı üzerinden yüzde veya binde bir kısmının hesaplanması gerekebilir. Komisyon, vergi, kâr, zarar gibi problemlerin çözümünde bu kuraldan faydalanır.
Paydası 100 olan sayılara yüzde oranı denir. Yüzde 30 aşağıdaki şekillerden biri ile yazılabilir:
!" #∗!" #"" = #"" = 0,30= %30
Her oran genişletilebilir ya da sadeleştirilebilir.
%#" %#":! '" !"" = !"":! = #"" = 0,70 = %70
Her yüzde oran, ondalık kesir veya rasyonel sayı olarak yazılabilir.
(" %40= #"" = 0,40
Paydası 1.000 olan sayılara binde oranı denir. Binde 10 aşağıdaki şekillerden biri ile yazılabilir:
#" #.""" = 0,010 = ‰10
Her oran genişletilebilir ya da sadeleştirilebilir.
(" (":%" % %".""" = %".""":%" = #.""" = 0,002 = ‰2
Yüzde ile yazılan bir değeri binde olarak ifade etmek için 10 ile çarpılır. Tersine, binde ile yazılan bir değer yüzde olarak ifade edilmek istenirse 10’a bölünür.
Basit Yüzde Hesaplamaları
Yüzde tutarı T, esas değeri A ve yüzde oranı Y ile gösterilirse, bunlardan ikisi bilindiğinde bilinmeyen aşağıda verilen eşitlikle rahatlıkla bulunabilir:
T (Yüzde Tutarı) = A (Esas Değer) ´ Y (Yüzde Oranı)
Örnek: 50.000 TL’lık bir fatura üzerinden %3 oranında iskonto yapılırsa bu iskontonun tutarı ne olur?
A = ¨50.000 Y = %3 T = ?
Yani, ¨100’de ¨3 iskonto yapılmış ise ¨50.000’de ¨X (kaç) iskonto yapılır?
T = A ´ Y T = 50.000 ´ 0,03 T = ¨1.500
Örnek: Bir işletme sahibi, müşterisinden olan alacaklarının %14’ünden vazgeçmiştir. Vazgeçilen alacak tutarı 350 TL olduğuna göre toplam alacak tutarı ne kadardır?
T = A ´ Y 350 = A ´ 0,14 A = 350 / 0,14 A = ¨2.500
İç Yüzde Hesaplamaları
Bildirilen değerde yüzde tutarı da dâhilse, bu tür yüzde hesaplarına iç yüzde hesapları denir. Yüzde tutarını da içine alan değeri A1 ile gösterirsek, esas değer ve yüzde tutarın toplamı A1 = A + T
Yüzde Tutarının Hesaplanması
Toplam maliyet ve diğer maliyet unsurlarının esas maliyete oranı biliniyorsa, diğer maliyet unsurları aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanabilir:
𝑨𝟏∗𝒀 T = 𝟏-𝒀
Örnek: Bir malın maliyetine, %3 oranında hesaplanan nakliye giderleri de dâhil edilince, fatura tutarı 12.360 TL’ye yükselmiştir. Nakliye giderleri kaç TL’dir?
A1 = 12.360 TL, Y = %3, T = ?
."∗/ #%.!0"∗","! T = #-/ = #-","! , T = 360 TL
Esas Değerin Hesaplanması
Esas değere yapılan ilavelerle birlikte toplam değer ve ilavelerin esas değere oranı biliniyorsa, esas değer;
𝑨𝟏 A = 𝟏-𝒀 formülü yardımıyla bulunabilir.
Örnek: Bir faturaya %3 oranında gider katıldıktan sonra, fatura tutarı 12.360 TL’ye yükselmiştir. Faturanın esas değeri nedir?
A1 = 12.360 TL, Y = %3, A = ?
." #%.!0" A = #-/ = #-","! ise, A = 12.000 TL bulunur.
Yüzde Payının Hesaplanması
Esas değer ve esas değer ile yüzde tutarın toplamı 𝑨𝟏 biliniyorsa yüzde payı; Y = 𝑨 –1 ile hesaplanır.
Örnek: 12.000 TL’lık bir faturaya %X oranında bir miktar gider katılarak fatura tutarı 12.360 TL’na yükselmiştir. Gider oranı nedir?
A1 = 12.360 TL, A = 12.000 TL, Y = ?
𝑨𝟏 𝟏𝟐.𝟑𝟔𝟎 Y = 𝑨 –1, Y = 𝟏𝟐.𝟎𝟎𝟎 –1, Y = 0,03 olarak bulunur.
Dış Yüzde Hesaplamaları
Bildirilen miktardan yüzde tutarı indirilmişse bu tür yüzde hesaplarına Dış Yüzde Hesapları denir. Yüzde tutarın indirildiği değeri A2 ile gösterirsek, esas değerden yüzde tutarın farkı;
A2 = A – T ile gösterilir.
Yüzde Tutarının Hesaplanması
Ticari hayatta malın satış fiyatı üzerinden bazı indirimler yapılabilir. Genellikle iskonto olarak nitelendirilen indirim oranı ve iskonto edilmiş değer biliniyorsa, indirim tutarı;
𝑨𝟐 ∗𝒀 T = 𝟏6𝒀
Örnek: Bir fatura üzerinden %3 oranında iskonto yapıldıktan sonra fatura tutarı ¨27.160’ya düşmüştür. İndirim tutarı ne kadardır?
A2 = 27.160 TL, Y = %3 T = ?
.% ∗/ %'.#0" ∗","! T = #6/ = #6","! ise, T = ¨840 olarak bulunur.
Not: İç yüzde hesaplamalarında eşitliğin paydasında (1+Y) yer alıyordu. Dış yüzde hesaplamalarında ise (1-Y) olmaktadır.
Yüzde Payının Hesaplanması
Esas değer ve esas değerden yüzde tutarın farkı 𝑨6 𝑨𝟐 biliniyorsa, yüzde payı; Y = 𝑨 ile hesaplanabilir.
Örnek: 28.000’lık bir fatura üzerinden %X oranında hesaplanan gider düşüldükten sonra fatura tutarı ¨27.160 olmuştur. Gider oranı nedir?
A2 = ¨27.160, A = ¨28.000, Y = ?
.6 .% 𝟐𝟖.𝟎𝟎𝟎6 𝟐𝟕.𝟏𝟔𝟎 Y = . = 𝟐𝟖.𝟎𝟎𝟎 ise,
Y = 0,03 olarak bulunur.
Oran
Aynı cinsten iki kıymetin birinin diğerine bölünmesinden elde edilen sonuca oran denir. Örneğin, a sayısının b sayısına oranı demek, a sayısının b sayısına bölünmesi (a/b) demektir. 3 sayısının 4 sayısına oranı demek (3/4) demektir. (3/4) kesrinde 3 sayısına pay, 4 sayısına da payda denir.
Oranların Özellikleri
1. Bir kesrin pay ve paydası aynı sayı ile çarpılır veya bölünürse değeri değişmez. 2. Kesirlerde toplama veya çıkarma işlemlerinden önce paydalar eşitlenir, sonra işlem yapılır. 3. İki kesri birbiriyle çarparken, bu kesirlerin payları ve paydaları birbiriyle ayrı ayrı çarpılır.
60 dk.’da 80 km. yol gidiyorsa; 15 dk.’da X km. yol gider?
4. İki kesri birbiriyle bölmek için, ikinci kesrin aksi alınarak, birinci kesirle çarpılır.
Orantı
İki oranın eşitliğine orantı denir.
: < : < ; oranı = oranına eşitse, ; = = ye orantı denir. Örneğin; #" > %" oranı ile #" oranı bir orantı teşkil eder.
: < ; = = orantısında a ve d sayılarına yan terimler – içler, c ve
b sayılarına orta terimler – dışlar denir.
Orantının Özellikleri
1. Her orantıda içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir. : < ; = =, a × d = b × c
2. İkişer ikişer çarpımları birbirine eşit olan dört sayıdan bir orantı kurmak mümkün olur. : < a × d = c × b, ; = =
3. Her orantıda, birinci oranın paydasını, aynı oranın payına eklenir veya çıkarılırsa yine bir orantı elde edilir.
: < :±; <±= ; = = buradan ; = = elde edilir.
4. Bir orantıda içler ve dışlar, sıralarına göre değiştirilebilirler.
𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 𝑑 𝑐 𝑑 𝑏 = ; = ; = ; = 𝑏 𝑑 𝑐 𝑑 𝑏 𝑎 𝑐 𝑎
5. Her orantıda, birinci terimlerle ikinci terimler toplamları ve farkları yine orantı teşkil eder.
𝑎 𝑐 𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 = ; = 𝑏 𝑑 𝑎 − 𝑏 𝑐 − 𝑑
6. Her orantıda, paylar toplamının kendi farklarına oranı, paydalar toplamının kendi farklarına oranına eşittir.
𝑎 𝑐 𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑑 = ; = 𝑏 𝑑 𝑎 − 𝑐 𝑏 − 𝑑
7. Her orantıda, her dört terimin aynı dereceden kuvveti veya kökü alınırsa, orantı yine mevcuttur.
𝑎 𝑐 𝑎@ 𝑐@ &𝑎 &𝑐 √ √ = ; @ = @ ; & = & 𝑏 𝑑 𝑏 𝑑 √𝑏 √𝑑
Doğru Orantı
Orantı çokluklarından biri artarken diğeri de aynı oranda artarsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalırsa bu çokluklar doğru orantılıdır denir. Birbirleri ile doğru orantılı olan iki değerin birbirlerine bölünmelerinin sonucu daima sabit bir değerdir.
𝒙 x ile y doğru orantılı ise x = k . y ya da k = 𝒚 ’dir.
Örnek: Bir araç 60 dakikada 80 km. hızla gidiyorsa 15 dakikada kaç km. yol gider?
#> ∗ C" x = 0" = 20 km
Ters Orantı
Orantı çokluklarından biri artarken diğeri azalırsa veya biri azalırken diğeri artarsa bu çokluklar ters orantılıdır 𝒌 denir. x ile y ters orantılı ise x = 𝒚 dir.
Örnek: 2 işçi bir kamyon kömürü 6 saatte depoya taşımaktadır. 5 işçi aynı kömürü kaç saatte depoya taşıyabilir?
Yani, 2 işçi 6 saatte taşıyorsa; 5 işçi X (kaç) saatte taşır?
% ∗ 0 #% 2 × 6 = 5 × x ise, X = > = > ; X = 2,4 saat
Bileşik Orantı
Birden fazla orandan oluşan orantıya bileşik orantı denir.
Örnek: 3 işçi günde 8 saat çalışarak 100 metre kanal kazabilmektedir. 5 işçi günde 10 saat çalışarak kaç metre kanal kazabilir?
3 işçi 8 saatte 100 metre kazıyorsa; 5 işçi 10 saatte X (kaç) metre kazar?
#"" F #"" F !×C = >×#" %( = >" 24 ´ x = 100 ´ 50 = 208 metre
Alış, Maliyet, Satış ve Kâr
Alış Fiyatı = Alınan mallar için ödenen bedel
Masraf = Alınan malların satış yerine getirilmesi için ödenen taşıma, sigorta, benzeri giderler
Maliyet Fiyatı = Alış Fiyatı + Masraflar Maliyet Fiyatı = Satış Fiyatı – Kâr Maliyet Fiyatı = Satış Fiyatı + Zarar Satış Fiyatı = Maliyet Fiyatı + Kâr Satış Fiyatı = Maliyet Fiyatı – Zarar Brüt Kâr = Satış Fiyatı – Alış Fiyatı Net Kâr = Satış Fiyatı – Maliyet Fiyatı
Maliyet Üzerinden Kâr (Zarar) Hesaplamaları
Maliyet üzerinden kâr hesaplamaları, malın maliyet fiyatı esas alınarak yapılan hesaplamalardır. Hesaplamalarda satılan malın maliyet fiyatı 100 kabul edilir; kâr payı eklenip, zarar payı çıkarılarak satış fiyatı bulunur. Satış fiyatı ile maliyet fiyatı arasındaki olumlu fark kâr, olumsuz fark tutarı ise zarardır. Maliyet üzerinden %y kazanmak demek, ¨100’ya mal olan bir malı (100 + y) fiyatına satmak demektir.
İşlemlerde kullanılan semboller şunlardır:
M = Maliyet fiyatı, F = Satış fiyatı, K = Kâr tutarı,
Z = Zarar tutarı, Y = Kâr veya zarar yüzdesi
Satış Kârlı ise F = M × (1 + Y)
Satış Zararına ise F = M × (1 – Y)
Örnek: 560 TL’ye mal olan bir maldan, maliyet üzerinden %25 kazanmak için bu mal kaç ¨’ye satılmalıdır?
M = 560 TL, Y = %25, F = ? F = M × (1 + Y)
F = 560 × (1 + 0,25) = 560 × 1,25 = ¨700
Konu ile ilgili çözümlü örnekler için S:14-17’den incelenebilir.
Satış Üzerinden Kâr (Zarar) Hesaplamaları
Satış fiyatı üzerinden %Y kazanmak demek, (100–Y) fiyatına mal olan bir malı 100 TL’ya satmak demektir.
G Satış Kârlı ise; F = (#6/)
G Satış Zararına ise; F = (#- /)
Örnek: Satış fiyatı üzerinden %20 kazanmak için ¨480 maliyetli bir mal kaça satmalıdır?
M = 480 TL, Y = %20, F = ?
G (C" (C" F = (#6/) = (#6",%") ise, F = ",C" = ¨600
Çözümlü örnekler için S:18 – 21’de incelenebilir.
Maliyet Yüzdesinin Satış Yüzdesine Çevrilmesi
Maliyet üzerinden %Y kazanmak ¨100’ya mal olan bir malı (100 + Y) ¨’ya satmak anlamına gelir. ¨100’ya mal edilip, (100 + Y) satılan bir malın satış fiyatı üzerinden kâr yüzdesini bulmak için aşağıdaki eşitlikten faydalanılır:
Satış 100 + Ym ve Kâr Ym; Satış 100 ve Kâr Ys ise formül;
𝑌@ 𝑌J = (1 + 𝑌@)
Eşitlikte; Ym = Maliyet üzerinden kâr yüzdesi,
Ys = Satışlar üzerinden kâr yüzdesi anlamına gelmektedir.
Örnek: Maliyet üzerinden %25 kazanan bir tüccar satış üzerinden % kaç kazanmış olur?
",%> Ys = (#-",%>) = 0,20 = %20
Satış Yüzdesinin Maliyet Yüzdesine Çevrilmesi
Satış fiyatı üzerinden %Y kazanmak, (100–Y) ¨’ya mal olan bir malı ¨100’ya satmak demektir. Satış fiyatı üzerinden kâr yüzdesi bilinen bir malın, maliyet üzerinden kâr yüzdesi aşağıdaki gibi hesaplanır.
Satış 100 – Ys ve Kâr Ys; Satış 100 ve Kâr Ym ise formül;
𝑌J 𝑌@ = (1 − 𝑌J)
Örnek: Satış fiyatı üzerinden %20 kazanan bir tüccar, maliyet üzerinden % kaç kazanmış olur?
",%" Ym = (#6",%") = 0,25 =%25
Çözümlü örnekler S:22- 28’de incelenebilir.