ADY214U-VERİ ANALİZİ VE DEĞERLENDİRME
Ünite 8: Konumsal Enterpolasyonun Temelleri
Giriş
Bilinen ya da ölçülen noktalardan, bilinmeyen noktaların tahmini olarak tanımlanan enterpolasyon verilerin en küçük ve en büyük değerleri, arasındaki bilinmeyen değerlerin tahminini ifade eden yöntemleri ifade etmektedir. En küçük ve en büyük değerlerin dışının tahmini ise ektrapolasyon olarak adlandırılmaktadır. Ekstrapolasyon yaptığımızda, veri aralığının içerisindeki modelin, aralığın dışında da var olduğunu varsayarız ki bu yanlış bir varsayımdır. Aynı mantıkla, konumsal enterpolasyon ise kapalı bir alan oluşturan verilerin alanda aldığı değerlerin tahmini olarak tanımlanabilir. Dolayısıyla ölçüm noktalarının oluşturduğu iç bükey kapalı alanın dışı, konumsal enterpolasyonun kapsamının da dışında bulunur.
Ölçüm yapılmayan noktayı tahmin etmenin en çabuk akla gelen yolu, en yakın noktaların ortalamasını almak olabilir. Ancak ortalama değer, çevredeki noktaların eşit şekilde ağırlıkladırılmasına ve yakınlığa bağlı bir yaklaşım geliştirme gerekliliğini ortaya çıkarır.
Enterpolasyonda kullandığımız veri sürekli tipte ve her noktada bir değer alabilen verilerdir. Buna toprakta bulunan azot miktarı, havada bulunan karbondioksit ya da bir göl içerisindeki çözünmüş madde oranı örnek olarak verilebilir. Ölçümlerimiz bir alanda, sürekli tipte, tekil ölçümlerden oluşur ve konumsal enterpolasyon sonucunda alanda bir yüzey verisi oluşur. Enterpolasyonun çıktıları genellikle raster dediğimiz hücrelerden oluşurken, Üçgenler ağı [TIN (Triangulated Irregular Network)] yüzeyin vektör tabanlı tek gösterim şeklidir.
Konumsal enterpolasyon yöntemleri, az sayıda veri ile büyük alanlar kaplaması veya küçük alanlarda sık ve çok veri içermesine göre küresel ve yerel yaklaşımlar olmak üzere iki ayrılır. Küresel yaklaşımlar tahminlerini tüm veri setinin tahminlerde aynı anda kullanılması ile yapılırken, yerel yaklaşımlar ise verilerden alt kümeler oluşturarak tahminlerini yapmaktadırlar. Konumsal enteropolasyon yöntemleri, küresel ve yerel yaklaşımların dışında, kesin veya yakınsayan yöntemler olarak da sınıflandırılır. Kesin yöntemlerde, ölçümlerin alındığı noktalardaki değerin tahmin değerine eşit olma zorunluluğu bulunurken yakınsayan değerlerde ölçüm yapılan noktanın değeri ile tahmin değeri birbirinden farklı olabilir.
Konumsal enterpolasyon ile elde edilen tahminlerin bazı gereklilikleri yerine getirmesi gerekir. Bunları kısaca özetlemek gerekirse, tahminlerimizin dayanağının veri olması, diğer bir deyişle ölçülen veya bilinen noktalardaki bilgilere dayanması gerekir. Hangi tahminin daha iyi olduğunu belirleyebilmemiz için ise tahminlerimizin belirsizliğinin ölçülebilmesi gerekir. Konumsal enterpolasyon kullanarak tahmin yapma yöntemi birden fazla denemeyi gerektir. En iyi tahmine ulaşabilmenin yolu, parametreleri değiştirerek denemeler yapmak ve en az belirsizliğe sahip tahmini kabul etmekten geçer. Bu nedenle tahminlerimizin gereksiz hataları içermemesi ve hangi hata miktarının bizim için kabul edilemez olduğunun biliniyor
olması gerekir. Diğer taraftan sonuçların da doğal konturlar oluşturması beklenir.
Konumsal Enterpolasyon yöntemleri, farklı yaklaşımlar içermesi nedeniyle Deterministik ve Jeoistatistiksel yaklaşımlar olarak ikiye ayrılmaktadır. Jeoistatistiksel yaklaşımda, bir noktada, ilgili eşik değerinin aşma olasılığı da belirlenebilir. Jeoistatistiksel yöntemlerdeki model varsayımları, yöntemlerin geçerliliğinin şartlarının olması nedeniyle, model varsayımlarını sağlamayan veriden elde edilen sonuçlar da doğru olmamaktadır. Bu nedenle kitabın bu bölümünde konu, farklı yöntem ve yaklaşımlar içermesi nedeniyle Deterministik Enterpolasyon Yöntemleri ve Jeoistatistiksel Enterpolasyon Yöntemleri olmak üzere 2 bölümde incelenmiştir.
Deterministik Enterpolasyon Yöntemleri
Deterministik enterpolasyon yöntemleri ile matematiksel fonksiyonlara dayanarak bir yüzey elde edilmektedir. Bu yüzeyin pürüzlülüğünün düzgünlüğü, ölçümlere göre kalibre edilmesine rağmen verilerin doğal değişkenliğiyle değil, ilgili matematiksel fonksiyonların parametreleri ile sağlanmaktadır. Deterministik yöntemlerin en basit örneği Thissen Poligonu Yöntemidir. Thissen Poligonları Yöntemine göre her bir ölçüm noktasının etrafında Thissen Poligonları çizilir ve o alana düşen her nokta o noktanın değeri alır.
Düzensiz Üçgenler Ağı (Triangulated Irregular Networks (TIN))
Düzensiz Üçgenler Ağı, bir yüzeyin, vektör tabanlı gösterimidir. Köşeler, bir üçgen ağı oluşturmak için bir dizi kenarla bağlanır. Bu üçgenleri oluşturmak için Delaunay üçgenlemesi veya mesafe sıralaması gibi farklı enterpolasyon yöntemleri bulunmaktadır. ArcGIS, kullanılarak TIN oluşturma işlemi, Delaunay üçgenleme yöntemini temel almaktadır. TIN’ler tipik olarak planimetrik alan, yüzey alanı ve hacim hesaplamalarının kolaylıkla yapılabilmesi nedeniyle, daha küçük alanların yüksek hassasiyetli modellemesi için kullanılır (Abuazap, 2021).
Yüzeyin Trend Analizi
Yüzeyin trend analizi, tüm verileri en uygun şekilde temsil eden bir yüzeyin elde edilmesi olarak ifade edilebilir. Herhangi bir noktada yüzeyin hangi yöne ve hangi hızda yükselme veya düşme eğiliminde olduğunu işaret eder. Trend analizi, verilerin dağılımının genel durumunu temsil eden küresel bir yöntemdir. Yüzeyin trend analizi, basit bir çoklu regresyondur, bağımlı değişken ilgili öznitelik (örneğin yağış veya yükseklik), bağımsız değişkenler ise veri koordinatlarıdır. Küresel olabildiği gibi yerel özellikli uygulama örnekleri de bulunmaktadır (Ders kitabınızın 194. sayfasındaki Şekil 8.5). Küresel polinomial enterpolasyon yönteminden elde edilen sonuç, yüzeydeki genel değişimi ifade eden düzgün bir yüzeydir (Sayfa: 194 Şekil 8.5.a). Yerel polinomial enterpolasyon yönteminde ise yalnızca tanımlanan komşuluk içindeki noktaları kullanarak polinomlar ile tanımlı bir yüzey oluşturur. Yerel
polinomial enterpolasyonda, komşuluklar birbirleri ile örtüşür ve yüzey alanı boyunca farklı polinom parametreleri ile birbirini üzerleyen yüzeyler tanımlanmış olur (Sayfa: 194 Şekil 8.5.b).
Küresel enterpolasyon yöntemi bir alanda yavaş değişim gösteren (endüstriyel alanındaki kirlilik, atmosferik basıncın değişimi, yerin gravitasyonunun değişimi vb.) gibi olayları enterpole etmek için kullanışlıdır. Ancak genellikle konumsal enterpolasyon gerektiren uygulamalarda, ilgilenilen değişken, kısa alanda değişim göstermektedir, o nedenle yerel polinomial enterpolasyon yönteminin çalışmalarda daha sıklıkla kullanıldığı gözlenmektedir.
Uzaklığın Tersiyle Ağırlıklandırma [Inverse Distance Weightening (IDW)]
Uzaklığın Tersiyle Ağırlıklandırma yöntemine göre, tahmin noktasındaki değer, komşu noktaların ağırlıklı katkılarının toplamına göre hesaplanır (Krivoruchko, 2011). Tahmin noktasına yakın noktaların IDW ağırlığı fazla iken uzak noktaların ağırlığı mesafenin üssü (k) ile ters orantılıdır. IDW tahmin eşitliği,
∑% 𝑧(𝑥). 𝑑#$ !&' ! !" ∑% 𝑑#$ !&' !"
şeklinde verilmektedir. Bu eşitlikte, noktasındaki tahmin değeri; ölçüm noktaları; n ölçüm noktası sayısı; d, ölçüm noktasını ile arasındaki mesafe, k ise ağırlık değerdir. Bu eşitliğe göre elde edilen enterpolasyon haritası k parametresi ile kontrol edilmektedir. Bu işleme örnek olarak bir bölgede ölçülen deniz seviyesinden yükseklik değerleri verilebilir (Ders kitabınızın 195. sayfasındaki Şekil 8.6). Şekil 8.6’da 1, 2, 3 ve 4 numaralı istasyonlardan ölçülmüş değerler ile soru işaretli noktanın yükseklik değeri uzaklığın tersi ile ağırlıklandırılarak tahmin edilmeye çalışılmıştır. Bu işlem için örnek noktalarda ölçülmüş değerlere, ölçüm noktalarının tahmin noktasına uzaklığına ihtiyaç bulunmaktadır (Ders kitabınızın 195. sayfasındaki Tablo 8.1).
Jeoistatistiksel Enterpolasyon Yöntemleri
İstatistikte kullanılan yöntemler, örneklerin veya ölçümlerin bağımsız olmalarına dayanmaktadır. Bu durum zar atımı gibi rassal bir örnekleme yönteminde mümkün olabilir. Her bir atışta, 1 gelme olasılığı ile 2 gelme olasılığı birbirine eşittir. Ancak bölgesel olarak değişkenleri değerlendirdiğimizde, yüksek bir değere sahip noktaya yakın bir yerden alınan örneğin de yüksek değere sahip olma olasılığı daha yüksektir. Diğer bir deyişle konumsal olarak değerlendirildiğinde bağımsızlık varsayımının tam olarak karşılanmadığı gözlemlenir. Bu durum bölgeselleşmiş değişkenler teorisi adı ile anılır. Jeoistatistik, bölgeselleşmiş değişkenler teorisini dikkate alan enterpolasyon yöntemidir ve Kriging olarak bilinen enterpolasyon ailesini temsil etmektedir. Kriging istatistiksel tekniklerin kullanıldığı en uygun durumu sağlayan konumsal enterpolasyon yöntemi olarak bilinmektedir. Kriging enterpolasyon yöntemi, tahmin
edilen değerlerin ortalamasının, popülasyonun ortalaması ile aynı olmasını sağlaması nedeniyle, en uygun (optimal) enterpolasyon yöntemi olarak tanınmaktadır. Diğer taraftan, hataların karelerin ortalamasını en küçüklemekte ve bu değere göre tahminlerin belirsizliğini ölçmektedir. Kriging’in en iyi tahmini sağlaması için iki ana varsayımı bulunmaktadır Bunlar, durağanlık ve izotropidir. Bu varsayımlar çeşitli biçimlerde gevşetilmesi sonucu, farklı kriging yöntemler geliştirilmiştir.
Durağanlık varsayımı (Stationarity), konumsal verilerin varyans ve ortalamasının çalışma alanı boyunca değişmediğini kabul eder. Diğer taraftan ortalamalardan bahsedebilmek için de verilerin normal dağılım göstermesi beklenir. Durağanlık varsayımının sağlanıyor olması, varyogram parametrelerinin de çalışma alanı boyunca değişmediğini kabul eder. İzotropi ise değişimin her yönde aynı olduğunu ifade eder. Diğer bir deyişle değişim yönden yöne herhangi bir farklılık göstermez.
Kriging ağırlıkları, ilgilenilen konuma yakın noktalara, uzaktakilerden daha fazla ağırlık verilecek şekilde hesaplanır. Örneklenen herhangi bir konum için Kriging enterpolasyonu ile tahmin edilen değer, bu noktadaki örneklenen değil gerçek değere eşit olacaktır. Konumsal otokorelasyonun varlığı, kriging enterpolasyon yönteminin etkili olmasının en birinci sebebidir. Krigingin uygulanması iki aşamada gerçekleştirilir. Birinci aşama, konumsal otokorelasyonun yapısının varyogram ile belirlenmesi, ikici aşaması ise belirlenen varyogramdan, ağırlıkların belirlenerek tahminlerin yapılmasıdır.
Varyogram
Bölgesel değişimi açıklamak için varyogramlar kullanılmaktadır. Varyogram, örnek değerlerini arasındaki farkların karelerinin ortalamasının mesafe ile değişimini ifade eden eşitliktir. Varyogram, matematiksel olarak
% % 1 * 1 * (𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥!())) 𝑑𝑥 = .(𝑥! − (𝑥!()!)) 2 " 2 !&'
formülleri ile tanımlanmaktadır. Eşitlikte n, örnek sayısını, xi örnek değerini, h de örnekler arasındaki sabit mesafeyi, göstermektedir. Eşitliğe göre h mesafesi uzaktaki örnek çiftlerinin farklarının karelerinin toplamının çift sayısının iki katına bölünmesi ile semi-varyogram değeri hesaplanır.
Bir varyogram grafiği, örneklenen verilerdeki her bir nokta çifti arasındaki semi varyans değerinin, mesafeye karşı çizilmesiyle elde edilir. Deneysel varyogram gözlemlenen değerlerin grafiğini temsil ederken, “teorik” veya “model” varyogram verilere en iyi uyan varyogram modelidir. Varyogram modelleri; doğrusal, küresel, üstel veya üstel güç şeklinde olabilir (Ders kitabınızın 198. sayfasındaki Şekil 8.8).
Bir varyogram modelinin seçiminde kullanıcının etkisinin ön plana çıkmasına rağmen, yazılımlar genellikle çeşitli optimizasyon yöntemleri kullanarak en uygun modelin seçilmesinde yardımcı olmaktadır. Örnek olarak
Bangladeş’in bir bölgesindeki kolera salgını için verilen varyogram örneğinde, kolera oranlarının bir varyogramı için “en uygun” model olarak üstel bir model seçilmiştir (Bkz. Şekil 8.9). Varyogramın özellikle yükselişinin modellenmesi önemlidir çünkü verilerin yakın mesafelerdeki değişimi, birbirine yakın olan çiftlerinin etkisiyle, varyogramın yükseliş kısmında gerçekleşir. 0 noktasından, varyogramın x eksenine paralel hâle geldiği mesafeye genişlik (Range) adı verilir ki, bu mesafe verilerin konumsal olarak birbirini etkilemediği mesafeyi temsil eder (Ders kitabınızın 199. sayfasındaki Şekil 8.9). Bunun yanında varyogramın y eksenini kestiği değere Külçe (nuget) adı verilir. Teorik olarak varyogramın 0’dan başlaması beklenir. Orijinden başlayan bir varyogram, aynı noktada yapılan tekrarlı ölçümlerin hatasız hep aynı değeri ölçtüğünü yansıtır. Bu nedenle Külçe değeri aynı noktadaki ölçümlerdeki aletsel hatayı temsil etmektedir. Dolayısıyla modeli seçerken, eğer ölçüm aletindeki hatayı bilmiyorsanız, Külçe değerini 0 olarak almak mantıklı bir seçim olacaktır.
Kriging Ağırlıkları
Tahmin yapılacak her nokta için ağırlıklar konumsal değişkenliği temsil eden semivaryogramın yapısına göre belirlenir. Ağırlıklandırmanın temel eşitliği şu şekilde hesaplanır:
%
. 𝜆!𝑧(𝑥!) !&'
Burada tahmin edilen noktanın değeri, örneklenen her noktanın xi konumundaki değerinin (z), ile her bir noktanın ağırlığının (i konumu için λ) toplamına eşittir. Kriging çeşitlerine göre, varyogramdan ağırlıkların hesaplanması, biraz farklılık gösterir ancak bu kitap kapsamında farklı kriging tiplerinin detaylarına girilmemiştir.
Kriging enterpolatörünün ağırlıkları, modellenen varyograma bağlı olduğundan, varyogram modelinin noktalardaki konumsal değişkenliği temsil etmesi oldukça önemlidir. Benzer şekilde, kriging modelinin durağanlığı, izotropi ve verilerin normal dağılımı gibi varsayımların her zaman karşılanması mümkün olmamaktadır. Genel olarak ifade etmek gerekirse; örneklenen gözlemlerin sayısı küçükse, verilerin konumsal dağılımı yetersizse veya veriler arasında varyogram ile temsil edilebilecek mekânsal otokorealasyon bulunmuyorsa verilerin kriging ile enterpolasyonun doğruluğu da kısıtlı olacaktır.