ADY214U-VERİ ANALİZİ VE DEĞERLENDİRME
Ünite 4: Örnekleme ve Hipotez Testleri
Giriş
Araştırma konusunu veya sorularını tanımlamak, bir araştırmanın ilk aşamasını oluşturur. İyi tanımlanmış bir araştırma sorusu, çalışılması gereken konular veya olaylar hakkında belirleyici olur ve söz konusu araştırma sürecinde hangi değişkenlerin önemli olduğuna işaret eder. Diğer taraftan, yürütülen araştırmanın güvenilir olması ve araştırma hedeflerine ulaşılması açısından, gerekli verilerin nasıl toplanacağı ayrıca önemlidir.
Örnekleme
Bir popülasyonla ilgili başarılı tahmin yapabilmesi için öncelikle popülasyon içerisindeki tüm bireylere ulaşmak veya popülasyondan sağlanan temsil edici alt gruplardan alınacak bilginin genele yayılması gerekir. Pratikte, söz konusu popülasyon içerisindeki tüm bireylere ulaşılması her zaman mümkün değildir. Bu güçlüğün temel nedenleri; veri toplama sürecinin maliyetli ve zaman alıcı olması olarak ifade edilebilir. Diğer taraftan, veri toplama sürecinde popülasyona erişim ayrıca kısıtlı olabilir. Bu nedenle, pratikte çoğunlukla popülasyondan örnekleme yöntemleri kullanılarak temsil edici alt gruplar oluşturulmak suretiyle örnekler alınıp müteakiben yapılan tahminler genelleştirilir.
Genel olarak bir popülasyondan rastgele bir örnek seçmeye çalışırız. En temel rastgele örnek “basit rastgele örnek” olarak ifade edilir ve bu durum, muhtemel olayları seçmek için bir çekiliş yapmaya eş değerdir. Bir başka ifade ile söz konusu durum, popülasyondaki her bir olayın örneğe dahil edilme şansının eşit olduğu ve örnekteki olaylar arasında zımni bir bağlantı olmadığı anlamına gelir. Basit rastgele örnek alma işlemi, yanlılığı en aza indirmeye yardımcı olur. Diğer taraftan, yanlılık başka şekillerde de ortaya çıkabilir. Örneğin; bir araştırma için rastgele örneklenen kişiler tüm popülasyonun yalnızca %25’lik diliminden geliyorsa, sonuçların tüm popülasyonu temsil edip etmediği belirsiz olacaktır. Diğer bir yanlılık ise kolayca erişilebilen bireylerin örneğe dahil edilme olasılığının daha yüksek olduğu “uygun örnek” durumudur. Örneğin; Eskişehir ili, Tepebaşı ilçesi, Zincirlikuyu Mahallesi’nde yürüyen insanları durdurarak bir anket yapılırsa, söz konusu anket Eskişehir ilinin tamamını temsil etmeyecektir.
Popülasyondan yapılacak bir örnekleme ile elde edilen örneğin iyi bir örnek olup olmadığı; örneğin temsil edici olup olmamasına, popülasyonun alt gruplarından orantılı bir şekilde örneklenmesine, popülasyondaki her bir olayın örneğe dahil edilme şansının eşit olmasına, örnekleme yanlılığının olmamasına ve örnek büyüklüğünün yeterli olmasına bağlıdır. Bir örneğin yansız olması ve değerlendirilen popülasyonu başarılı bir şekilde temsil etmesi örneğin büyüklüğünden daha önemlidir.
Örnekleme Yöntemleri
Esas olarak basit, sistematik, tabakalı, küme ve çok aşamalı olmak üzere dört farklı rastgele örnekleme yöntemi bulunur.
Basit Rastgele Örnekleme
Rastgele örneklemenin en sezgisel şeklidir. Genel olarak, popülasyondaki her bir olayın nihai örneğe dahil edilme şansı eşitse bir örneklem “basit rastgele” olarak adlandırılır. Basit rastgele örneklemede, bir olayın bir örneğe dahil edildiğini bilmek, başka hangi olayların dahil edildiği hakkında faydalı bilgi sağlamaz. Bu örnekleme yönteminin uygulanabilmesi için popülasyon içerisindeki tüm elemanların biliniyor ve erişilebiliyor olması gerekir; örneğin, bir fabrikada çalışan işçilerin bir araştırma için seçilmesi vb. Yöntem, popülasyon ile ilgili bilinenlerin sınırlı olması durumunda ve yine söz konusu popülasyonun büyük olmaması durumunda etkin bir örnekleme tekniği olarak değerlendirilebilir. Gerçekleştirilmesi kolay ve her bir olayın nihai örneğe dahil edilme şansı eşit olması sebebiyle yansız bir örnekleme yöntemidir. Popülasyonda temsiliyet açısından eşit olması gereken alt grupların olması durumunda veya popülasyonun farklı yapıda alt gruplardan oluşması durumunda basit rastgele örnekleme yönteminin uygulanması önerilmez.
Sistematik Örnekleme
Bir popülasyon içerisinde gözlemlerin sıralanıp sabit aralıklarla seçildiği örnekleme yöntemidir. Söz konusu yöntemde her bir elemanın seçilme şansının eşit olabilmesi için ilk gözlemin rastgele alınması esastır. Basit rastgele örnekleme yöntemine benzer şekilde popülasyon içerisindeki tüm gözlemlerin bilinmesi beklenir; ancak, sistematik örnekleme sıralı gözlemlerden oluşan popülasyon hakkında önceden bilgiye sahip olunmadığı durumlarda da uygulanabilir. Popülasyon içerisinde belirgin bir paternin gözlenmemesi durumunda, özellikle büyük veri kümelerinde kullanımı önerilir.
Tabakalı Örnekleme
Böl ve yönet örnekleme stratejisidir. Popülasyon, tabaka adı verilen gruplara ayrılır. Tabakalar, benzer durumlar bir arada gruplanacak şekilde seçilir, ardından her katmanda genellikle basit rastgele örnekleme olan ikinci bir örnekleme yöntemi uygulanır. Tabakalı örnekleme, özellikle her katmandaki olayların ayrı ayrı, ilgilenilen sonuca göre çok benzer olduğunda, bir başka ifade ile katmanlar içi homojenliğin sağlanması durumunda faydalıdır; örneğin, bir fabrikada çalışan işçilerin bir araştırma için seçilmesi aşamasında fabrikanın her bir üretim bölümünün eşit temsil edilebilmesine yönelik, öncesinde bir gruplama yapıldıktan sonra söz konusu alt gruplardan basit rastgele örnekleme yapılması vb. Bu kapsamda dezavantajı ise tabakalı örnekten alınan verilerin analiz edilmesinin, basit rastgele örnekten alınan verilerin analizinden daha karmaşık bir süreç olmasıdır. Bir tabakalı örnekleme yapabilmek için söz konusu
katmanların oluşturulabilmesine yönelik popülasyon hakkında ön bilgi esastır. Bununla birlikte, heterojenliğin katmanlar içi az, katmanlar arası ise fazla olması beklenir.
Küme ve Çok Aşamalı Örnekleme
Bir küme örneğinde, popülasyon, küme adı verilen birçok gruba ayrılır. Müteakiben, belirli sayıda küme örneklenir ve bu kümelerden gelen tüm gözlemler örneğe dahil edilir. Çok aşamalı örnekleme de bir küme örneği gibidir. Ancak, çok aşamalı örneklemede kümelerden tüm gözlemleri örnek içerisinde tutmak yerine, seçilen her bir küme içerisinden basit rastgele örnekleme yapılır. Bazı durumlarda, küme veya çok aşamalı örnekleme, alternatif örnekleme tekniklerinden daha ekonomik olabilir. Bununla birlikte, tabakalı örneklemenin aksine, söz konusu yaklaşımlar, bir küme içinde olaydan olaya çok fazla değişkenlik gözlendiğinde, buna karşılık, kümelerin kendileri birbirinden çok farklı olmadığında kullanışlıdır. Küme ve çok aşamalı örneklemenin, popülasyonun büyük olduğu ve gözlemlerin geniş alanlara yayıldığı koşullarda uygulanması önerilir.
Bir küme örneği popülasyonun küçük bir kopyasıdır. Her küme mümkün olduğu kadar heterojen olmalı, kümeler arası kesişim olmamalıdır.
Tahmin
Bir popülasyona ilişkin bir parametrenin tahmini için öncelikle bir tahmin edicinin seçilmesi ve müteakiben gerçekleştirilen tahminin güvenirliğinin belirlenmesi esastır. Popülasyondan alınan örneğe ilişkin ortalama değer bir rastgele değişkendir. Bu anlamda, söz konusu örneğe ilişkin ortalama, popülasyonun ortalaması için bir tahmin edici olarak kabul edilebilir. Örneğin, ikili sonuç alınan herhangi bir ankette bir onay notunun %55 olduğu varsayılsın; eğer popülasyonun tamamından yanıt alınabiliyorsa, %55 değeri onay derecesinin nokta tahmini olarak kabul edilir. Söz konusu popülasyonun yanıt oranı genellikle ilgilenilen parametre olarak adlandırılır.
Tahmindeki hatanın esas olarak iki nedeni, örnekleme hatası ve yanlılıktır. Örnekleme belirsizliği olarak da adlandırılan örnekleme hatası, bir tahminin bir örnekten diğerine ne kadar değişme eğiliminde olacağını gösterir. Örnekleme hatasının değerlendirilmesinde örnek büyüklüğü (n) dikkate alınır. Yanlılık ise gerçek popülasyon değerini gereğinden fazla veya az tahmin etmeye yönelik sistematik bir eğilimi tanımlar.
Popülasyon parametresi tek bir değer olarak tahmin ediliyor ise nokta tahmini, iki değer ile tahmin ediliyor ise aralık tahmini söz konusudur.
Merkezî Limit Teoremi
Merkezî limit teoremi, ortalaması μ ve standart sapması σ olan bir popülasyondan yerine tekrar koymak suretiyle yeterince büyük ve bağımsız rastgele örneklerin alınması durumunda, örnek ortalamalarının dağılımının yaklaşık olarak normal dağılacağını ifade eder. Burada, yerine tekrar koymak suretiyle örnekleme, popülasyondan
rastgele seçilen bir birimin popülasyona geri döndürülmesi ve ardından rastgele ikinci bir elemanın seçilmesi anlamına gelir. Örnek ortalamalarının normal dağılım özelliği, örnek boyutunun yeterince büyük olması koşulunda, genellikle n > 30 durumunda, kaynak popülasyonun normal veya çarpık olmasına bakılmaksızın geçerli olmaktadır. Bu durum, bir popülasyon ortalamasının örnek ortalamasına bağlı olarak tahmin edilmesine ilişkin süreçte, mevcut belirsizliğin değerlendirilmesi için normal dağılım modelinin kullanabileceği anlamına gelmektedir. Merkezî limit teoremine göre popülasyondan alınan rastgele örnekler için örnek ortalamalarının (x) ortalaması (μ- x) ve standart sapması (σ- x):
𝜇! = 𝜇
𝜎 𝜎! = √𝑛
Bir nokta tahmininin değişkenliğinden bahsederken, genellikle standart sapma yerine standart hata terimi kullanılır ve standart hata örnek büyüklüğü arttıkça azalır.
Merkezî limit teoremi, popülasyon normal dağılım gösteriyorsa, n ≤ 30 koşulu için de geçerlidir; esasen, teorem, n × p ≥ 5 ve n × (1 – p) ≥ 5 olması koşuluyla popülasyon binom olsa bile geçerlidir; burada, n, örnek büyüklüğü ve p popülasyondaki başarı olasılığıdır.
Bağımsız gözlemlerin elde edilmesine yönelik uygulanan en yaygın yaklaşım, basit rastgele örnekleme işlemidir.
Güven Aralığı
İstatistiksel açıdan bir tahmin yapıldığında, tahmin popülasyondan alınan örnek kullanılarak gerçekleştirildiği için söz konusu kestirimde her zaman bir belirsizlik oluşur. Güven aralığı kavramı, deney tekrar yapıldığında veya popülasyondan aynı şekilde yeniden örnekleme gerçekleştirildiğinde, tahminin belirli bir yüzde oran ile olması beklenen değer aralığıdır. Güven düzeyi, güven aralığının üst ve alt sınırları arasında bir tahminin yeniden elde edilmesine ilişkin beklenen tekrar yüzdesidir ve σ değeriyle belirlenir:
Güven düzeyi = 1 – 𝛼
Güven aralığı, tahmin ortalaması için artı ve eksi tahmin değişkenliğini tanımlar.
Söz konusu aralık, deney belirli bir güven düzeyi ile yeniden yapılırsa, tahminin arasına düşmesi beklenen değer aralığıdır. Esasen, güven kavramı olasılığın bir başka ifadesi olarak yorumlanabilir. Örneğin; %90 güven düzeyine sahip bir güven aralığı tanımlandığında, yapılacak 100 tahminden 90’ının güven aralığı tarafından belirtilen üst ve alt değerler arasında olması beklenir. Bir güven aralığının belirlenmesi sürecinde nokta tahmininin, kritik z (veya t) değerlerinin, örneğin standart sapmasının ve örnek büyüklüğünün biliniyor olması gerekir. Burada, nokta tahmini, yapılan istatistiksel tahmin ne ise o olacaktır; örneğin, popülasyonun ortalaması vb. Kritik
değerler ise güven aralığına ilişkin istenen güven düzeyine ulaşmak için ortalamadan kaç standart sapma uzaklaşılması gerektiğini ifade eder. Bir kritik değerin belirlenmesine ilişkin süreçte öncelikle a değeri belirlenir. a değeri istatistiksel önem açısından bir olasılık eşiğidir; örneğin, p = 0.001, 0.01, 0.05, 0.1 vb. Müteakiben, değerlendirmenin tek yönlü veya çift yönlü aralıkla mı gerçekleştirileceğine karar verilir. σ değerine karşılık gelen kritik değerler belirlenir. Veri normal dağılım gösteriyorsa veya yaklaşık olarak normal dağılım gösteren büyük bir örnek boyutu (n > 30) söz konusuysa, kritik değerler için standart normal dağılım (z dağılımı) kullanılır. Çift yönlü aralık ile gerçekleştirilen değerlendirmelerde σ değeri ikiye bölünür.
Hipotez Testleri
Bilimsel çalışmalarda merakla başlayan sorular müteakiben hipotezlere dönüşür. Bu süreçte, öğrenmeye yönelik gözlem ve deneyler yapılır ve veri toplanır. Toplanan verilerin değerlendirmesine bağlı olarak hipotezler kabul veya reddedilir ve yeni araştırma soruları oluşturulur. Hipotez testi bir veri kümesinde belirlenen bir paternin doğruluğunu test etmek veya söz konusu veride izlenen etkinin şans eseri gelişip gelişmediğinin belirlenmesine imkân sağlar. Hipotez kavramı, popülasyona ilişkin yapılan bir varsayım olarak tanımlanabilir. Örneğin, Eskişehir Teknik Üniversitesi öğrencilerinin ortalama yaşı 21’dir şeklinde bir önerme yapılabilir. Burada, söz konusu popülasyonun ortalaması için bir hipotez önerilmektedir: μ = 21 hipotezi eşitlik içermesi sebebiyle H0 hipotezi olarak ifade edilir. H0 hipotezinin karşıtı veya alternatifi ise H1 hipotezidir; μ ≠ 21. Bir eşitliğe ilişkin hipotez söz konusu olduğunda, örneğin, bu örnekte ortalama 21’den küçük veya büyük olabilir; bu durumda çift yönlü testler söz konusu olacaktır. Diğer taraftan hipotezler H0: μ ≥ 21 ve H1: μ < 21 veya H0: μ ≤ 21 ve H1: μ > 21 şeklinde de araştırılabilir. Bu durumda, eşitlik söz konusu olmadığından tek yönlü testler uygulanacaktır. H1 hipotezinin < ifadesi için araştırılması durumunda sol yönlü test, > ifadesi için araştırılması durumunda sağ yönlü test gerçekleştirilir; bir başka ifade ile alternatif hipotezler testin yönünü belirlemektedir. Ayrıca, karşıt hipotezler hiçbir zaman eşitlik içermez, buna karşılık H0 hipotezleri ise her zaman bir eşitlik koşulu içerir. Bir hipotez testi gerçekleştirilirken, esas olarak H0 hipotezinin reddedilip reddedilmeyeceğine karar verilir. Test sonucunda H0 hipotezi reddedilirse H1 hipotezinin desteklenebileceği veya doğru olduğu anlamına gelir. H0 hipotezinin reddedilememesi durumunda ise H1 hipotezinin desteklenemeyeceği, doğrulanabilmesi için yeterli kanıtın bulunmadığı ifade edilir.
H0 hipotezinin hangi durumda reddedileceğinin belirlenebilmesi için a önem seviyesi kullanılır. a önem seviyesi H0 hipotezinin reddedileceği bölgenin genişliğinin belirlenmesine imkân sağlar. Bu bölge, kritik bölge veya ret bölgesi olarak ifade edilir. Öncesinde ifade edilmiş olduğu üzere, çift yönlü testlerde 𝛼 ikiye bölünür.
Dağılımın 𝛼 /2 ile sınırlanmış kuyruk kısımlarında H0 hipotezi reddedilir; orta kısımda isim H0 hipotezi reddedilemez. Tek yönlü testlerde ise 𝛼 bölünmez. Sol ve sağ yönlü tek taraflı testlerde ret bölgeleri dağılımın sol ve sağ tarafında 𝛼 ile sınırlandırılmış bölgelerde kalır. Test istatistiğinin söz konusu ret bölgelerinde kalması durumunda H0 hipotezi reddedilir; aksi durumda H0 hipotezi reddedilemez. Hipotez testlerinin anlaşılabilmesi açısından Eskişehir Teknik Üniversitesi öğrencilerinin yaş ortalamasına ilişkin örneğimizden devam edersek; örneğimizde, üniversite içerisinde rastgele seçilen 41 öğrencinin yaş ortalaması 21.8 olarak elde edilmiş olsun. Yaş değerlerinin normal dağıldığı varsayılsın ve popülasyonun standart sapması da σ = 2.5 olarak biliniyor olsun. Bu durumda, 𝛼 önem seviyesi 0.05 düzeyinde popülasyon ortalamasının değiştiği sonucunu çıkarabilir miyiz? Burada popülasyon ortalamasının 21 değerinden değişkenliği araştırıldığı için alternatif hipotez H1: μ ≠ 21 şeklinde ve H0 hipotezi de μ = 21 şeklinde yazılır. 𝛼 önem seviyesi 0.05, %95 güven düzeyi anlamına gelir. Örneğimizde eşitlik koşulu araştırıldığı için çift yönlü bir test gerçekleştirilecektir. Bu nedenle, yukarıda ifade edilmiş olduğu üzere, 𝛼 değeri ikiye bölünür; 𝛼 /2 = 0.025. Müteakiben 𝛼 /2 değerine karşılık gelen kritik değerler belirlenir. Tek bir popülasyona ilişkin ortalamanın test edilmesine yönelik eğer popülasyonun standart sapması biliniyorsa veya merkezî limit teoremi açısından örnek büyüklüğü n > 30 ise z test istatistiği uygulanır. Buna göre, kritik değerler 𝛼 /2 = 0.025 değeri için standart normal dağılım tablosundan z = ±1.960 olarak okunur. Bu durumda, H0 hipotezinin ret koşulu; z test istatistiği 1.960 şeklinde oluşmaktadır. z test istatistiği aşağıda verilen eşitlik ile hesaplanır:
!"# $%.'"$% 𝑧 = " = %,' = 2.05 √$ √()
z test istatistiği = 2.05 > 1.960 olarak elde edilmesi sebebiyle H0 hipotezi μ = 21 reddedilir ve H1 hipotezi μ ≠ 21 desteklenir, doğrulanmış olur; popülasyon ortalaması %95 ihtimalle değişmiştir. Burada, incelemedeki önem seviyesini 0.02 düzeyine çıkarırsak: z kritik değeri z = ±2.326 olarak elde edilecek; bu durumda ise z test istatistiği 2.05 < 2.326 koşulunun oluşması sebebiyle H0 hipotezi a önem seviyesi 0.02 düzeyinde reddedilemez hale gelecektir; bir başka ifade ile H1 hipotezinin %98 güven seviyesinde desteklenmesi için yeterli kanıta ulaşılamamaktadır yorumu yapılacaktır.