ADY214U-VERİ ANALİZİ VE DEĞERLENDİRME
Ünite 3: Olasılık ve Olasılık Dağılımları
Giriş
Bir sürecin farklı şekillerde sonuçlanma ihtimali var ise, söz konusu sonuçların gerçekleşmesine ilişkin ihtimaller farklı olasılık yaklaşımları ile belirlenebilir. Olasılık, insan faaliyetlerinin birçok farklı alanında uygulanan matematiksel bir disiplindir. Esas olarak bilimsel yöntemin kapsamını genişletmekte ve sonuçları deneysel koşullar altında kesin olarak belirlenemeyen çalışmalara uygulanabilmektedir.
Olasılık
Olasılık terimi, rastgelelik ve belirsizliği ifade eder; bir başka ifade ile belirsizliği ölçmek için kullanılan matematiksel bir dildir. Deterministik olmayan ve dolayısıyla aynı koşullar altında tekrarlandığında her zaman aynı sonucu vermeyen faaliyetler rastgele gelişen süreç olarak ifade edilir. Olasılık teorisi esas olarak rastgele gelişen süreçleri çalışmak için geliştirilmiş matematiğin bir dalıdır. Farklı rastgele faaliyetleri ele alalım: Örneğin; 6 yüzlü bir zar, üzerinde 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sayılarının bulunduğu bir küptür. Buna göre; öncelikle 6 yüzlü bir zar atıldığında 1 gelme olasılığını değerlendirelim. Eğer söz konusu zar hileli değil ise o zaman 1’in şansı, diğer herhangi bir sayının şansı kadardır. Bir başka ifade ile muhtemel 6 sonuç olduğundan, 1 gelme olasılığı da 6’da 1 veya 1/6’dır. Peki yine aynı zarı attığımızda, bu sefer 1 veya 2 gelme olasılığını değerlendirdiğimizde sonuç değişecek midir? 1 ve 2, eşit olasılığa sahip 6 muhtemel sonuçtan ikisini oluşturur; bu durumda, bu iki sonuçtan birini elde etme olasılığı 2/6 yani 1/3 olacaktır. Burada verilen örneğin anlaşılması açısından; aynı zarı attığımızda, bu sefer 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 gelme olasılığını değerlendirebiliriz. Söz konusu olasılık 6/6 yani 1 olacaktır. 6 yüzlü bir zarın atılması durumunda sonuç söz konusu 6 değerden biri olacaktır.
Örnek Uzayları ve Olaylar
Olasılık çalışmalarında deney, sonucu belirsizliğe tabi olan herhangi bir faaliyet veya süreci ifade eder. Örneğin; bir veya birkaç kez yazı tura atmak, bir desteden bir kart veya birkaç kart seçmek, bir grup insanın kan gruplarını belirlemek veya farklı çelik kirişlerin sıkışma dayanımlarını ölçmek vb. Örnek uzayı kavramı ise söz konusu deneyin tüm olası sonuçlarının bir kümesidir. Bir önceki örneğimizde değerlendirdiğimiz 6 yüzlü iki zarı dikkate alırsak; bu zarların atılması durumunda bu deney için örnek uzayı 36 muhtemel sonuç verecektir.
Olasılık çalışmalarında deney, kesin olarak tahmin edilemeyen bir sonuç veren bir gözlem eylemi veya sürecidir; bir örnek noktası bir deneyin en temel sonucudur; bir deneyin örnek uzayı ise tüm örnek noktalarıdır.
Bir olay, örnek uzayında yer alan sonuçların herhangi bir alt kümesidir. Bir olay, sadece bir sonuçtan oluşuyorsa basit olay, birden fazla sonuçtan oluşuyorsa bileşik
olaydır. Bir deney yapıldığında, ortaya çıkan deneysel sonuç bir A olayında yer alıyorsa, söz konusu A olayının meydana geldiği söylenir. Esas olarak, bir basit olay meydana gelir, ancak aynı anda birçok bileşik olay söz konusudur. Örneğin; yine 6 yüzlü iki zarın atılmasına ilişkin deneyin örnek uzayı değerlendirildiğinde; 36 muhtemel sonucun, dolayısıyla 36 ayrı basit olayın var olduğu görülecektir.
Bileşik olaylar için ise; 6 yüzlü eş değer iki zarın atılması durumunda iki zarın da aynı değere sahip yüzlerinin gelmesi olayı, iki zarın değerlerinin toplamının 6 olması olayı veya atılan zarların değer toplamının en fazla 3 olması olayı örnek olarak verilebilir.
Burada ifade edilmiş olduğu üzere bir olay esasen bir kümedir. Dolayısıyla temel küme teorisinden elde edilen ilişkiler ve sonuçlar olayları incelemek için kullanılabilir. Verilen olaylardan yeni olaylar oluşturmak için tümleyen, birleşim veya kesişim küme işlemleri değerlendirilebilir. Söz konusu küme işlemlerini hatırlayalım: A´ ile gösterilen bir A olayının tümleyeni, A’da yer almayan örnek uzayındaki tüm sonuçların kümesidir. A ∪ B ile gösterilen ve “A veya B” olarak okunan iki A ve B olayının birleşimi, A veya B’de veya her iki olayda bulunan tüm sonuçları içeren olaydır. Söz konusu birleşim hem A hem de B’nin gerçekleştiği sonuçların yanı sıra tam olarak birinin gerçekleştiği sonuçları, yani olaylardan en az birindeki tüm sonuçları içerir.
A ∩ B ile gösterilen ve “A ve B” olarak okunan iki A ve B olayının kesişimi hem A hem de B’deki tüm sonuçları içeren olaydır.
Ø hiçbir sonucu olmayan olay (boş olay) olmak üzere; A ∩ B = Ø olduğunda, A ve B’nin birbirini dışlayan veya ayrık olaylar olduğu söylenir.
pi, örnek noktası i’nin olasılığı olmak üzere; tüm örnek noktası olasılıkları 0 ile 1 arasında (0 ≤ pi ≤ 1) olmalıdır ve bir örnek uzayındaki tüm örnek noktalarına ilişkin olasılıkların toplamı 1 olmalıdır (Σpi = 1).
Bir A olayının olasılığı, A için tanımlı örnek uzayındaki örnek noktalarına ilişkin olasılıkların toplanmasıyla hesaplanır.
Olasılığın Özellikleri
Olasılık çalışmalarının amacı esasen; tanımlı bir örnek uzayında değerlendirilen bir deney için, her A olayına, A olayının olasılığı adı verilen bir P(A) sayısı tanımlamaktır. Buna göre; öncelikle herhangi bir A olayı için P(A) ≥ 0 ve ilgili örnek uzayını S ile gösterirsek P(S) = 1 olmalıdır. Ø hiçbir sonucu olmayan olay (boş olay) olmak üzere ise P(Ø) = 0’dır.
Bir dizi olaydan en az birinin gerçekleşmesi ve iki olayın aynı anda olmaması olasılığını istiyorsak, en az birinin olma olasılığı, bireysel olayların olma olasılıklarının toplamına eşittir.
Bağımsız bir şekilde tekrar tekrar yapılabilen bir deney düşünelim; A olayı da deneyin sabit bir sonuç kümesinden oluşan bir olay olsun. Deney n kez yapılırsa, bazı tekrarlarda A olayı meydana gelecek ve bazılarında ise A olayı gözlenmeyecektir. n(A), A’nın gerçekleştiği örnek sayısı olmak üzere; n(A)/n oranı, n tekrarda A olayının gerçekleşmesine ilişkin bağıl frekans olarak adlandırılır. Göreli olarak düşük n sayılarında bağıl frekans n(A)/n önemli ölçüde değişkenlik gösterebilir. Deney sayısının artmasına müteakiben bağıl frekansta izlenen değişkenlik daha kararlı hâle gelecektir. Bir başka ifade ile n sayısı arttıkça, n(A)/n, A olayının bağıl frekansını sınırlayan olarak adlandırılan bir sınır değere yaklaşır. Esas olarak, olasılığın nesnel yorumu, söz konusu sınırlayıcı bağıl frekansı P(A) ile tanımlamayı amaçlar. Olasılık değerlerinin, sınırlayıcı bağıl frekanslarına göre olaylara atandığını varsayarsak; aşağıda verilen yazı tura örneğinde madeni paranın yazı veya tura gelme olasılığının 0.5 olması gerektiği anlaşılacaktır.
Koşullu Olasılık
Çeşitli olaylar için hesaplanan olasılıklar esas olarak olasılık hesabının yapıldığı andaki durum hakkında bilinenlere bağlıdır. Diğer taraftan, söz konusu hesaplamalar sonrasında, değerlendirilen olayla ilgili birtakım ek bilgiler kullanılabilir hâle gelebilir. Bu tür bilgiler, gerçekleştirilen olasılık hesaplarının gözden geçirilmesine neden olabilir. Bir başka ifade ile herhangi bir A olayı için koşulsuz hesaplanan olasılığın bir başka B olayının gerçekleşmesine bağlı olarak nasıl etkileneceğinin değerlendirmesi gerekebilir. Buna göre; P(A|B), B olayının gerçekleşmesine bağlı olarak A’nın koşullu olasılığı olarak tanımlanır. Burada, B koşullu olayı ifade eder. P(B) > 0 olmak üzere herhangi iki A ve B olayı için, B’nin gerçekleşmesine bağlı olarak A’nın koşullu olasılığı:
!(#∩%) P(B)= !(%)
Koşullu olasılık kavramının anlaşılması açısından bir örnek inceleyelim: Belirli bir cep telefonunu satın alan kişilerin %70’nin satın alımlarında isteğe bağlı ek hafıza kartı, %50’sinin ek şarj cihazı ve %20’sinin ise hem hafıza kartı hem de şarj cihazı aldığını varsayalım. Rastgele bir alıcının seçilmesine bağlı olarak: A = {Ek hafıza kartı satın alındı} ve B = {Ek şarj cihazı satın alındı} olmak üzere; P(A) = 0.7; P(B) = 0.5 ve P(A ∩ B) = 0.2 olarak verilmektedir. Rasgele seçilen kişinin ek şarj cihazı almasına bağlı olarak, isteğe bağlı ek hafıza kartını da satın almış olma olasılığı: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.2/0.5 = 0.4 olarak hesaplanır. Bu sonuç; ek şarj cihazı satın alanların %40’nın isteğe bağlı ek hafıza kartı satın alma olasılığı anlamına gelmektedir. Benzer şekilde, P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A) = 0.2/0.7 = 0.29 sonucu ise ek hafıza kartı satın alanların %29’unun isteğe bağlı ek şarj cihazı satın alma olasılığını gösterir.
Burada dikkat edilmesi gereken husus; P(A|B), P(A)’ya veya P(B|A), P(B)’ye eşit değildir.
Koşullu olasılık yaklaşımına ilişkin yukarıda verilen eşitlikte, eşitliğin her iki tarafı P(B) ile çarpılırsa aşağıda verilen çarpım kuralı elde edilir; koşullu olasılık problemlerinde genellikle P(A ∩ B) olasılığının hesaplanması beklenir:
P(A ∩ B) = P(A|B) × P(B)
Bağımsızlık
Çoğu zaman, A’nın meydana gelme olasılığı, B’nin meydana geldiği bilgisinden etkilenmez. Bu nedenle P(A|B) = P(A) olur. Bu durumda, A ve B bağımsız olaylar olarak kabul edilebilir; bir başka ifade ile bir olayın meydana gelip gelmemesinin diğerinin meydana gelme olasılığı üzerinde hiçbir etkisi yoktur.
İki olay A ve B, eğer P(A|B) = P(A) ise bağımsızdır; aksi durumda bağımlıdır.
Olasılık Dağılımları
Olasılık dağılımı, idealleştirilmiş bir frekans dağılımı olarak ifade edilebilir. Frekans dağılımı, belirli bir örneği veya veri kümesini tanımlar. Bir başka ifade ile, bir değişkenin olası her değerinin veri kümesi içerisinde kaç kez gözlendiğinin bir göstergesidir. İstatistiksel araştırmalarda esas olarak, değerlendirilen rassal değişkenin olasılık dağılımının belirlenmesi ve müteakiben söz konusu dağılıma ilişkin özelliklere bağlı olarak çıkarım yapmak amaçlanır. Olasılık dağılımları ayrık ve sürekli verilere göre iki grup altında toplanır. Bu bölüm içerisinde, ayrık veriler için değerlendirilen başlıca olasılık dağılımlarından binom ve Poisson dağılımları ve sürekli veriler için değerlendirilen normal dağılım incelenecektir.
Binom Dağılımı
Birçok kez deney yapıldığını, her defasında sadece iki çeşit sonuç alındığını ve bu sonuçların bağımsız olduğunu varsayalım. Söz konusu iki çeşit sonuçtan biri “başarılı” ve diğeri de “başarısız” olsun. Deney sonucunun “başarılı” olma olasılığı “p” ile ve “başarısız” olma olasılığı da “q” ile ifade edilirse; n kez tekrar edilen bir deneyde k kez başarılı sonuç alma olasılığı; x = 1, 2, …, n olmak üzere binom dağılımı kullanılarak hesaplanabilir:
𝑛 ! "#! 𝑏(𝑥; 𝑛, 𝑝) = + , 𝑝 𝑞 𝑥
Binom dağılımında n deneme sayısının büyük (n ≥ 50) ve “p” olasılığının küçük olması durumunda; bu dağılım özelliğini gösteren olaya “nadir olay” denir; n × p ≤ 5 ise söz konusu olay “nadir olay” olarak kabul edilir.
Binom dağılımı uygulamada sıklıkla kullanılan ayrık olasılık dağılımlarından biridir. Binom dağılımının kullanımı için aşağıdaki koşulların sağlanmış olması beklenir:
i) Deney, deneme adı verilen ve n’nin deneyden önce sabitlendiği bir dizi n sayıda küçük (alt) deneyden oluşur. ii) Her bir denemenin sadece iki sonucu bulunur.
iii) p ve q (1 – p) her bir denemede sabit olmalıdır. farklı normal dağılımların karşılaştırılmasını güçleştirir. iv) Her bir deneme bağımsızdır. Bu nedenle, aşağıda verilen dönüşüm gerçekleştirilir:
Poisson Dağılımı 𝑥, − 𝜇 𝑧, = Sıklıkla kullanılan bir diğer ayrık olasılık dağılım modeli 𝜎
Poisson dağılımıdır. n deneme sayısının büyük ve “p” Burada, z, standart normal değişkeni ifade eder; z başarı olasılığının küçük olması durumunda binom değişkeni için ortalama (μz ) = 0 ve varyans (σ2 z ) = 1’dir.
dağılımı Poisson dağılımına yaklaşır. Bu durumda, Poisson olasılık fonksiyonu ile daha gerçekçi sonuçlar elde edilir.
λ! 𝑝(𝑥; λ) = × 𝑒#$ 𝑥!
Burada, λ ortalama değer (λ = n × p) ve x başarı sayısı olarak verilmektedir. Poisson dağılımı, dağılım modelinde “p” olasılığının çok küçük değerler alması sebebiyle doğal afetler gibi görece az rastlanan olayların değerlendirilmesinde kullanılır. Poisson dağılımı, birim zaman içerisinde yinelenen olayların değerlendirilmesinde esastır.
Birim zaman içerisinde, tanımlanan bir olaya ilişkin olasılık “p” ise n denemede söz konusu zaman içerisinde değerlendirilen olayın tekrar sayısı λ olacaktır; bir başka ifade ile λ, değerlendirilen zaman aralığı içerisinde söz konusu olayın ortalama mutlak frekansıdır.
Normal Dağılım
Ayrık olasılık dağılımlarında belirli aralıkların olasılıkları değerlendirilmektedir. Söz konusu aralıkların daraltılmasıyla sürekli bir olasılık eğrisi oluşturmak her ne kadar teorik olarak mümkün olsa da pratikte uygulanabilir değildir. İstatistikte en yaygın kullanılan sürekli olasılık dağılım modeli normal dağılımdır. Bir sürekli x rassal değişkeni için beklenen değer μ, varyans σ2 ve –∞ < x < ∞
olmak üzere normal dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verildiği şekilde ifade edilir:
1 #%×(!#))& 𝑓(𝑥) = × 𝑒 & * σ × √2 × 𝜋
Normal dağılımın, beklenen değer (ortalama; μ) ve standart sapma (σ) olmak üzere iki parametresi bulunur; bir başka ifade ile söz konusu dağılımın tanımlı olabilmesi için μ ve σ’nın verilmiş olması gerekir. Normal dağılım N(μ, σ) ile gösterilir. Dağılım μ etrafında simetriktir. Ortalama ve standart sapma ne olursa olsun, normal dağılım eğrisinin altındaki alan her zaman 1’e eşittir. Normal dağılım eğrisinin standart sapması ne kadar küçükse, grafik o kadar yüksek ve dar olur. Farklı ortalamalara sahip normal dağılım eğrileri, farklı sayılar etrafında ortalanır.
Standart Normal Dağılım
Herhangi bir x rassal değişkeninin a ve b gibi iki değer arasındaki dağılımı x değişkeninin söz konusu aralıktaki olasılığı olarak tanımlanır ve P(a ≤ x ≤ b) gösterimi ile ifade edilir. Burada sözü edilmiş olduğu üzere; normal dağılım μ ve σ tarafından kontrol edilmektedir; yoğunluk fonksiyonunun μ ve σ tarafından kontrol ediliyor olması,